Satz von Varignon

Der Satz von Varignon (auch Satz vom Mittenviereck) beschreibt in der Geometrie eine Eigenschaft von Vierecken. Namensgeber ist Pierre de Varignon (1654–1722).

Wenn man die Mitten benachbarter Seiten eines Vierecks verbindet, dann erhält man ein Parallelogramm.

${\displaystyle {\overline {AE}}={\overline {EB}},{\overline {BF}}={\overline {FC}},{\overline {CG}}={\overline {GD}},{\overline {DH}}={\overline {HA}}}$

Das Viereck EFGH ist ein Parallelogramm.

1. Betrachte das Dreieck ABC. Nimmt man B als Streckzentrum einer zentrischen Streckung, werden A auf E und C auf F mit Streckfaktor ½ abgebildet. Nach den Abbildungseigenschaften der zentrischen Streckung – Bildgerade und Urgerade sind parallel – folgt AC ∥ EF.
2. Ebenso zeigt man, dass AC ∥ GH, BD ∥ FG, und BD∥ HE.
3. Die Parallelität ist transitiv. Also ist EF ∥ HG und FG ∥ HE.

Die gegenüberliegenden Seiten des Vierecks EFGH sind parallel, was der Definition eines Parallelogramms entspricht.

Der Umfang des Varignon-Parallelogramms ist genau so groß wie die Summe der Diagonalenlängen im Ursprungsviereck.

Die Fläche des Varignon-Parallelogramms ist halb so groß wie die Fläche des Ursprungsvierecks.

• Satz von Commandino
• Diagonalensatz
• Varignon'scher Apparat

• Siegfried Krauter, Christine Bescherer: Erlebnis Elementargeometrie: Ein Arbeitsbuch zum selbstständigen und aktiven Entdecken. Springer, 2012, ISBN 978-3-8274-3025-0, S. 76-77
• H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer: Geometry Revisited. MAA, Washington 1967, S. 52–54
• Peter N. Oliver: Pierre Varignon and the Parallelogram Theorem (PDF; 194 kB) In: Mathematics Teacher, Band 94, Nr. 4, April 2001, S. 316–319
• Peter N. Oliver: Consequences of Varignon Parallelogram Theorem (PDF; 559 kB) In: Mathematics Teacher, Band 94, Nr. 5, Mai 2001, S. 406–408

• Eric W. Weisstein: Varignon’s Theorem. In: MathWorld (englisch).
• Varignon-Parallelogram in Compendium Geometry (englisch)
• Satz von Varignon bei Matroids Matheplanet
• Varignon parallelogram auf cut-the-knot-org