In der Mathematik sind die Seiberg-Witten-Invarianten wichtige Invarianten differenzierbarer 4-Mannigfaltigkeiten. Zu ihren Anwendungen gehören der Beweis der Thom-Vermutung oder der Nichtexistenz von Metriken positiver Skalarkrümmung, Zerlegungen als zusammenhängender Summe oder symplektischer Strukturen auf verschiedenen 4-Mannigfaltigkeiten. Weiterhin können sie verschiedene Differentialstrukturen auf topologischen 4-Mannigfaltigkeiten unterscheiden.
Definition
Sei
eine kompakte, differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer Riemannschen Metrik und einer Spinc-Struktur
mit assoziierten Spinorbündeln
und Determinantenbündel
.
Für eine generische selbst-duale 2-Form
ist der Raum
der Lösungen der gestörten Seiberg-Witten-Gleichungen eine kompakte, orientierbare Mannigfaltigkeit der Dimension
.
Die Eichgruppe
und ihre Untergruppe
wirken auf
. Der Quotientenraum
ist ein
-Hauptfaserbündel über
. Sei
seine Eulerklasse.
Wenn
ungerade ist, dann ist die Dimension von
eine gerade Zahl
. Man definiert dann
.
Für
hängt diese Invariante nicht von
und
ab und wird als Seiberg-Witten-Invariante
bezeichnet.
Eigenschaften
Im Folgenden sei stets
ungerade und
. Eine Kohomologieklasse
heißt Basisklasse, wenn es eine Spinc-Struktur
mit
und
gibt.
- Wenn
ein orientierungserhaltender Diffeomorphismus ist, dann ist ![{\displaystyle SW(M_{1},f^{*}{\mathfrak {s}})=SW(M,{\mathfrak {s}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea547fa7ea393f52020005d1278ad48a899a1f29)
- Für jede Basisklasse
gilt
. - Für die duale Spinc-Struktur
gilt ![{\displaystyle SW(M,{\mathfrak {s}}^{*})=(-1)^{\frac {\chi (M)+sign(M)}{4}}SW(M,{\mathfrak {s}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38ca8b0bdcee6a9a626279f1e5fea3dc847370eb)
hat nur endlich viele Basisklassen. - Wenn
eine Metrik positiver Skalarkrümmung besitzt, dann gilt
für alle
. - Wenn
für kompakte, orientierbare, glatte 4-Mannigfaltigkeiten
mit
, dann gilt
für alle
. - Wenn
gilt und für eine Spinc-Struktur
mit
die Ungleichung
gilt, dann ist
. - Für eine eingebettete, kompakte, orientierbare Fläche
des Geschlechts
gilt
für jede Basisklasse
. - Wenn
eine symplektische Mannigfaltigkeit mit kanonischer Spinc-Struktur
ist, dann ist
.
Literatur
- John Morgan: Lectures on Seiberg-Witten invariants, Lecture Notes in Mathematics, 1629 (2nd ed.), Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-41221-2
- Liviu Nicolaescu: Notes on Seiberg-Witten theory, Graduate Studies in Mathematics, 28, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2145-8
- Alexandru Scorpan: The wild world of 4-manifolds, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3749-8
Weblinks
- Dietmar Salamon: Spin geometry and Seiberg-Witten invariants