Teorema di Laplace

In matematica, in particolare in algebra lineare, il teorema di Laplace o sviluppo di Laplace, il cui nome è dovuto a Pierre Simon Laplace, è una formula che permette di calcolare il determinante di una matrice (quadrata) con un procedimento ricorsivo. Lo sviluppo può essere eseguito per righe oppure per colonne.

Si supponga di avere una matrice quadrata ${\displaystyle M}$ di ordine ${\displaystyle n}$ e di elementi ${\displaystyle m_{ij}}$ in un campo fissato. Si definiscono:

• La matrice ${\displaystyle M_{ij}}$, la sottomatrice (di dimensione ${\displaystyle n-1}$) che si ottiene da ${\displaystyle M}$ cancellando la ${\displaystyle i}$-esima riga e la ${\displaystyle j}$-esima colonna.
• Il valore ${\displaystyle \det(M_{ij})}$, detto minore complementare dell'elemento ${\displaystyle (i,j)}$.
• Il valore ${\displaystyle (-1)^{i+j}\det(M_{ij})}$, detto cofattore o complemento algebrico dell'elemento ${\displaystyle (i,j)}$.

Il primo teorema di Laplace afferma che il determinante di una matrice quadrata ${\displaystyle M}$ di ordine ${\displaystyle n}$ è pari alla somma dei prodotti degli elementi di una riga qualsiasi (o una colonna qualsiasi) per i rispettivi complementi algebrici. In formule:

${\displaystyle \det M=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}m_{ij}\det M_{ij}}$

indicando con ${\displaystyle i}$ la riga, con ${\displaystyle j}$ la colonna e considerando ${\displaystyle i,j=1,\ldots ,n}$.

Il secondo teorema di Laplace afferma che è sempre nulla la somma dei prodotti degli elementi di una riga (o colonna) per i complementi algebrici di un'altra riga (o colonna) della matrice stessa. In formule:

${\displaystyle 0=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}m_{kj}\det M_{ij}\ \ \ {\text{con}}\ \ \ i\neq k}$

(se ${\displaystyle i=k}$ è il primo teorema e il risultato è diverso da zero).

Con lo sviluppo di Laplace si può verificare, per esempio, che il determinante di una matrice diagonale è il prodotto dei valori sulla diagonale, che il determinante di una matrice triangolare è ancora il prodotto dei valori sulla diagonale o che gli autovalori di una matrice triangolare sono gli elementi sulla diagonale.

Per provare che il determinante della matrice ottenuto operando con le righe e quello ottenuto operando con le colonne sono la stessa cosa basta ricordarsi ${\displaystyle {\textrm {det}}\,A=\det(A^{T})}$. Fissato arbitrariamente ${\displaystyle h}$ appartenente ${\displaystyle N_{n}}$, la matrice ottenuta da ${\displaystyle A}$ sostituendo alla sua ${\displaystyle h}$-esima riga la ${\displaystyle n}$-pla:

${\displaystyle (0,0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0)}$

dove l'elemento ${\displaystyle 1}$ compare nella ${\displaystyle j}$-esima posizione. Da:

${\displaystyle (a_{h1},a_{h2},\dots ,a_{hn})=a_{h1}(1,0,\dots ,0)+a_{h2}(0,1,0\dots ,0)+\dots +a_{hn}(0,\dots ,0,1)}$

applicando iterativamente le proprietà 4' e 4" del determinante alla ${\displaystyle h}$-esima riga di ${\displaystyle A}$, si ottiene:

${\displaystyle \det A=\sum _{j=1}^{n}a_{hj}\det B_{j}}$

Dopo di che, non resta che provare che al variare di ${\displaystyle j}$ in ${\displaystyle N_{n}\det B_{j}=A_{j}^{h}}$

A tale scopo sia ${\displaystyle B_{j}'}$ la matrice ottenuta da ${\displaystyle B_{j}}$ scambiando consecutivamente ogni riga, dalla riga ${\displaystyle h}$ alla riga ${\displaystyle h-1}$, con la sua successiva fino ad ottenere una matrice ${\displaystyle B'_{j}}$ con un ${\displaystyle 1}$ nel posto individuato dalla ${\displaystyle h}$-esima riga e dalla ${\displaystyle j}$-esima colonna, tutti gli altri elementi di tale riga siano ${\displaystyle 0}$ e tutti gli altri elementi della ${\displaystyle j}$-esima colonna siano quelli di ${\displaystyle A}$. in questo modo si è isolato il minore ${\displaystyle M_{j}'}$.

Essendo tale minore il minore ${\displaystyle M_{j}^{h}}$ complementare di ${\displaystyle a_{j}^{h}}$ in ${\displaystyle A}$. Si osservi ora che se ${\displaystyle P_{n}'}$ indica il sottogruppo di ${\displaystyle P_{n}}$ costituito dalla permutazione ${\displaystyle p}$ appartenente a ${\displaystyle P_{n}}$ tale che ${\displaystyle p(n)=n}$, l'applicazione che associa ad ogni ${\displaystyle p}$ appartenente a ${\displaystyle P_{n}'}$ la sua restrizione a ${\displaystyle N_{n-1}}$ definisce una biiezione tra ${\displaystyle P_{n}'}$ e ${\displaystyle P_{n-1}}$ in cui corrispondenti permutazioni hanno lo stesso segno. Pertanto, posto ${\displaystyle B_{j}'=(a_{s}^{r})}$, poiché ${\displaystyle a_{n}^{n}=1}$ e, per ogni s appartenente a ${\displaystyle N_{n-1}}$, ${\displaystyle a_{s}^{n}=0}$ si ottiene:

${\displaystyle \det B_{j}'=\sum _{pP_{n}}\operatorname {sgn} pa_{p(1)}^{1}\cdot \ldots \cdot a_{p(n-1)}^{(n-1)}\cdot a_{p(n)}^{n}=}$

${\displaystyle \sum _{pP_{n}'}\operatorname {sgn} pa_{p(1)}^{1}\cdot \ldots \cdot a_{p(n-1)}^{(n-1)}\cdot 1=}$

${\displaystyle \sum _{pP_{n-1}}\operatorname {sgn} pa_{p(1)}^{1}\cdot \ldots \cdot a_{p(n-1)}^{(n-1)}=\det M_{j}'=\det M_{h}^{j}}$

Poiché ${\displaystyle B_{j}'}$ è ottenuta da ${\displaystyle B_{j}}$ con ${\displaystyle n-h}$ scambi di riga ed ${\displaystyle n-j}$ scambi di colonna, dalla proprietà 2 del determinante si ha:

${\displaystyle \det B_{j}=(-1)^{n-h}*(-1)^{(n-j)}\cdot \det B_{j}'=(-1)^{2n-(h+j)}\cdot \det B_{j}'=(-1)^{(h+j)}\cdot \det M_{j}^{h}=A{j}^{h}}$

Come volevasi dimostrare.

Si voglia calcolare il determinante della seguente matrice quadrata del terzo ordine:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2&3\\-2&-1&-3\\0&-4&1\end{pmatrix}}}$

• Si inizia scegliendo arbitrariamente una riga o una colonna della matrice rispetto alla quale sviluppare la formula. Ammettiamo di aver scelto la prima riga: ${\displaystyle (1,2,3)}$;
• Si moltiplica ogni numero della riga scelta per il rispettivo complemento algebrico. Quindi:
  • ${\displaystyle 1\cdot (-1)^{1+1}\det {\begin{pmatrix}-1&-3\\-4&1\end{pmatrix}}=1\cdot [-1\cdot 1-(-3)\cdot (-4)]=-1-12=-13}$
  • ${\displaystyle 2\cdot (-1)^{1+2}\det {\begin{pmatrix}-2&-3\\0&1\end{pmatrix}}=-2\cdot [-2\cdot 1-(-3)\cdot 0]=4}$
  • ${\displaystyle 3\cdot (-1)^{1+3}\det {\begin{pmatrix}-2&-1\\0&-4\end{pmatrix}}=3\cdot [-2\cdot (-4)-(-1)\cdot 0]=24}$
• Il determinante della matrice iniziale è dato dalla somma dei precedenti prodotti e vale: ${\displaystyle \det A=-13+4+24=15}$.
• Il risultato ottenuto è indipendente dalla riga o colonna inizialmente scelta. Utilizzando ad esempio l'ultima riga della matrice, che contenendo uno zero aiuta a semplificare ulteriormente i calcoli, si ottiene infatti:

${\displaystyle \det A=4{\begin{vmatrix}1&3\\-2&-3\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}1&2\\-2&-1\end{vmatrix}}=4\cdot (-3+6)+(-1+4)=15}$

• Tom M. Apostol, Calcolo, Volume 2. Geometria, a cura di Alessandro Figà Talamanca; trad. di Giunio Luzzatto, Anna Zappa e Francesco Ferro, Torino, Boringhieri, 1985, ISBN 88-339-5034-4.
• (EN) David Poole, Linear Algebra: A Modern Introduction, Thomson Brooks/Cole, 2006, pp. 265-267, ISBN 978-0-534-99845-5.
• (EN) H. E. Rose, Linear Algebra: A Pure Mathematical Approach, Springer, 2002, p. 57, ISBN 978-3-7643-6905-7.

• Determinante
• Formula di Jacobi
• Matrice invertibile
• Metodo di eliminazione di Gauss

• (EN) Eric W. Weisstein, Teorema di Laplace, su MathWorld, Wolfram Research.
• Laplace expansion at PlanetMath

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