Operator d’Alemberta (dalambercjan) – operator różniczkowy II rzędu definiowany w czterowymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego. Jest odpowiednikiem operatora Laplace’a
definiowanego w 3-wymiarowej przestrzeni Euklidesowej.
Operator ten jest oznaczany symbolem
„kwadrat” (rzadziej używane jest oznaczenie
). Wykorzystywany m.in. do zwięzłego zapisu równania falowego klasycznej elektrodynamiki czy równania Kleina-Gordona elektrodynamiki kwantowej.
Przyjmując sygnaturę metryki
czasoprzestrzeni, operator ten wyrazimy za pomocą jego składowych.
Współrzędne
We współrzędnych
operator d’Alemberta ma postać[1][2][3]
![{\displaystyle \square =\triangle -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/731c3ede6be63cfa5ed1d2ac37f8ddc0d387b520)
gdzie:
– operator Laplace’a,
– prędkość światła w próżni.
Po rozpisaniu operatora Laplace’a otrzyma się
![{\displaystyle \square ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/806426dfe9ae9d2c802a2f207e2af14d68622152)
Współrzędne
We współrzędnych
mamy:
![{\displaystyle \square =-{\frac {\partial ^{2}}{\partial (x^{0})^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial (x^{1})^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial (x^{2})^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial (x^{3})^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/686b6330f0896bcf93b4e230a2f6e96f909206cf)
Zapis skrócony
Operator d’Alemberta zapisuje się za pomocą iloczynu skalarnego czterogradientu – przy czym iloczyn skalarny w 4-wymiarowej czasoprzestrzeni definiuje się jako sumę iloczynów współrzędnych kowariantnych i kontrawariantnych, tj.
![{\displaystyle \square =\partial _{\mu }\partial ^{\mu },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b193d2559849fafd1b5fe4ca6a6df7c1e0d47b2)
gdzie:
– składowe kowariantne 4-gradientu,
– składowe kontrawariantne 4-gradientu.
Wstawiając współrzędne, otrzyma się
![{\displaystyle \square =\partial _{\mu }\partial ^{\mu }=\Delta -(\partial _{0})^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82bde7e0eb1e633fe0396715fb1ff114885935a2)
przy czym
![{\displaystyle \Delta ={\vec {\nabla }}^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59cb906af8e6ea481c85dbc228bf41d946209778)
![{\displaystyle (\partial _{0})^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial (x^{0})^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b2ffd62c7c8ca1b48e7bdbc636d2424e549c5da)
Zastosowania
Teoria drgań
Równanie falowe np. dla małych drgań (poziomej) struny
![{\displaystyle \Box u\left(x,t\right)\equiv u_{xx}-{\frac {1}{c^{2}}}u_{tt}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1d083bc770b48b3d41a556365fda7ffe8eededf)
gdzie:
– przemieszczenie (w pionie) struny od położenia równowagi,
– współrzędna położenia punktu na strunie,
– czas.
Elektrodynamika klasyczna
Równanie falowe fali elektromagnetycznej w próżni
![{\displaystyle \Box A^{\mu }=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dbb3163430529e1a594d674674a4bfaf70731bc)
gdzie
– czteropotencjał pola elektromagnetycznego.
Elektrodynamika kwantowa
Równanie Kleina-Gordona
![{\displaystyle (\Box +m^{2})\psi =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0426fe3086118217c727d241451e00e62f22e70a)
Zobacz też
1. Operatory różniczkowe 4-wymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego
- czterogradient
- czterowektor (tu m.in. na temat iloczynu skalarnego 4-wektorów)
2. Operatory różniczkowe 3-wymiarowej przestrzeni euklidesowej
3. Operatory różniczkowe w n-wymiarowej rozmaitości pseudoriemannowskiej
Przypisy
- ↑ Dalambercjan, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-07-29] .
- ↑ Encyclopedia of Mathematics: D’Alembert operator. encyclopediaofmath.org. [dostęp 2016-11-12]. (ang.).Sprawdź autora:1.
- ↑ Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., d’Alembertian, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2016-11-12] (ang.).
Bibliografia
Linki zewnętrzne
D'Alembert operator (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].
- PWN: 3890356
- Treccani: operatore-dalembertiano