Punkt przegięcia

Niektóre z zamieszczonych tu informacji wymagają weryfikacji. Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Punkt przegięcia – niejednoznaczne pojęcie matematyczne, definiowane inaczej – i nierównoważnie – w analizie oraz geometrii. W obu dyscyplinach występują różne konwencje znaczeń:

• dla funkcji rzeczywistej o zmiennej rzeczywistej jest to pewien punkt w jej dziedzinie lub na wykresie. Zachodzi w nim zmiana wypukłości, tj. po jednej stronie przegięcia funkcja jest wypukła, a po drugiej – wklęsła^[1][2]. Ta definicja jest niejednoznaczna przez różne użycie nazw „wypukłość” i „wklęsłość”; oprócz tego bywa zawężana dodatkowymi warunkami na zachowanie funkcji w tym miejscu. Przy niektórych z tych zawężeń – oraz innych definicjach, nieodwołujących się do wypukłości – punkt przegięcia wykresu staje się szczególnym przypadkiem sensu geometrycznego:
• dla ogólnych krzywych płaskich punkt przegięcia to taki, w którym istnieje styczna i „przechodzi” ona z jednej strony krzywej na drugą^[3][4]. W sensie ścisłym i węższym^[5]: w pewnym sąsiedztwie przegięcia krzywa zawiera się we wnętrzu kątów wierzchołkowych utworzonych przez styczną i normalną^[6]. Można to też formalizować przez zmianę znaku krzywizny^[7], choć wymaga to innych założeń o własnościach krzywej^{[potrzebny przypis]}.

Oprócz tego znaczenia z pierwszej grupy mają swoje warunki wystarczające jak:

• ekstremum pierwszej pochodnej we wnętrzu dziedziny^[8],
• zmiana znaku drugiej pochodnej^[9][10],
• zmiana znaku pewnych wyrażeń z pierwszą lub drugą pochodną w przegięciu,
• zerowanie się pochodnych kolejnych rzędów między pierwszym a pewnym rzędem nieparzystym, dla którego wartość pochodnej jest niezerowa^[11][12]:

${\displaystyle \mathop {\exists } \limits _{k\in \mathbb {N} _{+}}{\Big (}f^{(2k+1)}(x_{0})\neq 0\wedge \mathop {\forall } \limits _{n\in \mathbb {N} }1<n<2k+1\Rightarrow f^{(n)}(x_{0})=0{\Big )}.}$

Kryteria te istnieją dzięki twierdzeniom o różniczkowalnych funkcjach wypukłych i wklęsłych. Przy pewnym zawężeniu pojęć te warunki wystarczające stają się równoważnymi; bywają wręcz używane jako definicje^[11].

Pojęcie to wprowadził do matematyki prawdopodobnie Gilles de Roberval; posłużył się nim w 1636 roku, w liście do Pierre’a Fermata. O przegięciach pod innymi nazwami wspominali potem między innymi Gottfried Wilhelm Leibniz i Isaac Newton^[13].

Przegięcia funkcji rzeczywistych

Szeroka definicja przez wypukłość

Niech ${\displaystyle f}$ będzie funkcją zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych: ${\displaystyle f\colon X\to Y,}$ gdzie ${\displaystyle X,Y\subseteq \mathbb {R} .}$ Wtedy mówi się, że ${\displaystyle f}$ ma punkt przegięcia w ${\displaystyle x=x_{0}}$ wtedy i tylko wtedy, gdy w pewnym otoczeniu punktu ${\displaystyle x_{0}}$ jest po jednej z jego stron ściśle wypukła, a po drugiej – ściśle wklęsła^[14]. Formalnie oznacza to, że istnieje liczba ${\displaystyle r\in \mathbb {R} _{+},}$ dla której funkcja ${\displaystyle f{:}}$

a) jest ściśle wklęsła na przedziale ${\displaystyle (x_{0}-r,x_{0})}$ i ściśle wypukła na przedziale ${\displaystyle (x_{0},x_{0}+r);}$

b) odwrotnie – jest ona ściśle wypukła na ${\displaystyle (x_{0}-r,x_{0})}$ i ściśle wklęsła na ${\displaystyle (x_{0},x_{0}+r).}$

Wypukłość i wklęsłość są definiowane różnie – i nierównoważnie – przez różnych autorów. W ogólności funkcja ${\displaystyle f{:}}$

• jest ściśle wklęsła na przedziale ${\displaystyle [u,v]\subseteq X}$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła na przedziale ${\displaystyle (u,v)}$ i:

${\displaystyle \forall {u\leqslant a<b<c\leqslant v}:{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}>{\frac {f(c)-f(b)}{c-b}}}$

lub (równoważna definicja^{[potrzebny przypis]}):

${\displaystyle \forall {u\leqslant a<b\leqslant v}:f\left({\frac {a+b}{2}}\right)>{\frac {f(a)+f(b)}{2}}.}$

• Podobnie funkcja jest ściśle wypukła na tym przedziale wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła na tym przedziale i:

${\displaystyle \forall {u\leqslant a<b<c\leqslant v}:{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}<{\frac {f(c)-f(b)}{c-b}}}$

lub (równoważna definicja):

${\displaystyle \forall {u\leqslant a<b\leqslant v}:f\left({\frac {a+b}{2}}\right)<{\frac {f(a)+f(b)}{2}}.}$

Inne definicje

Niektórzy matematycy definiują punkty przegięcia funkcji przez wypukłość i wklęsłość w sąsiedztwie, ale określone inaczej – za pomocą stycznych^[1][15]. Wymaga to wzmocnienia założenia ciągłości o różniczkowalność^[16]. Zdarza się też dodatkowy wymóg, by w tym sąsiedztwie przegięcia istniała także druga pochodna i to ciągła^[17]; takie funkcje bywają nazywane klasą ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}}$.

Nierzadko zakłada się też dodatkowe własności funkcji ${\displaystyle f}$ w samym punkcie ${\displaystyle x_{0}}$ jak:

• określoność w tym punkcie^[14] (przyjmowanie w nim jakiejś wartości: ${\displaystyle x_{0}\in X}$);
• ciągłość^[b]: ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}};}$
• istnienie w nim pochodnych jednostronnych ${\displaystyle (f'_{\pm })}$ spełniających pewne nierówności^[2];
• istnienie w nim stycznej^[18], czyli spełnianie jednego z dwóch warunków^[19]:
  • istnienie pochodnej właściwej lub niewłaściwej (tj. nieskończonej)^[20]: ${\displaystyle f'(x_{0})\in {\overline {\mathbb {R} }};}$
  • istnienie jednostronnych pochodnych niewłaściwych: ${\displaystyle f'_{+}(x_{0}),f'_{-}(x_{0})\in \{\pm \infty \};}$
• różniczkowalność^[16] – istnienie pochodnej właściwej (tj. skończonej): ${\displaystyle f'(x_{0})\in \mathbb {R} ;}$
• istnienie drugiej pochodnej (podwójna różniczkowalność) i jej ciągłość^[17][21]: ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{2}.}$

Czasem przegięcie funkcji jest definiowane bez wypukłości ani wklęsłości. Niektórzy odwołują się do własności związanych ze styczną w tym punkcie ${\displaystyle (x_{0}){:}}$

• nieformalnie przegięcie to punkt przecinania stycznej^[21]. To znaczenie obejmuje też funkcje bez zmiany wypukłości, w dodatku z wykresem po jednej stronie prostej normalnej – wbrew ogólnej definicji przegięcia krzywej płaskiej. Tak się może dziać w wypadku stycznych pionowych^[5].
• Wykluczenie stycznych pionowych oznacza, że w przegięciu istnieje pochodna skończona ${\displaystyle (f'(x_{0})\in \mathbb {R} ).}$ Wtedy przebijanie stycznej to formalnie zmiana znaku funkcji ${\displaystyle f-s,}$ gdzie ${\displaystyle s(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})}$ to funkcja opisująca styczną w punkcie ${\displaystyle x_{0}}$^[c][20]. Ta definicja również bywa zawężana^[d]. Wszystkie takie przegięcia są zgodne z definicją geometryczną (dla ogólnej krzywej płaskiej); mimo to mogą one nie zmieniać wypukłości funkcji, co opisano dalej.

Zdarza się jeszcze inna definicja – pozwalająca rozstrzygnąć, czy punkt jest przegięciem, za pomocą samych pochodnych w tym punkcie. Wymaga to co najmniej trzykrotnej różniczkowalności (istnienia ${\displaystyle f'''(x_{0})}$)^[11].

Przykłady nierównoważności

Powyższe definicje nie są sobie równoważne – istnieją funkcje z punktami spełniającymi tylko niektóre z nich. Są przypadki zmiany wypukłości, w których^{[potrzebny przypis]}:

• druga pochodna jest nieciągła;
• nie ma drugiej pochodnej – por. funkcja ${\displaystyle u(x):=x|x|.}$ W punkcie ${\displaystyle x=0}$ istnieje przegięcie, bo pierwsza pochodna ${\displaystyle u'(x)=2|x|}$ ma tam swoje minimum. Mimo to drugie pochodne jednostronne są tam różne ${\displaystyle (u''_{-}\neq u''_{+}),}$ więc obustronna druga pochodna nie istnieje;
• nie ma pierwszej pochodnej właściwej (skończonej) – por. pierwiastek kubiczny (sześcienny);
• nie ma nawet niewłaściwej pierwszej pochodnej;
• nie ma stycznej^[22];
• nie ma ciągłości;
• nie ma wartości w tym punkcie; por. ${\displaystyle v(x):=1/x.}$

Istnieją też funkcje z punktami spełniającymi „geometryczną” definicję przegięcia (przez styczną), ale bez zmiany wypukłości w tym punkcie^[20][2]:

${\displaystyle g(x):={\begin{cases}-x^{2}(2+\sin {\frac {1}{x}})&{\text{dla }}x<0,\\0&{\text{dla }}x=0,\\x^{2}(2+\sin {\frac {1}{x}})&{\text{dla }}x>0.\end{cases}}}$

Ta funkcja jest różniczkowalna w zerze ${\displaystyle (g'(0)=0),}$ ale jej pochodna jest tam nieciągła i nawet nie ma granic jednostronnych^[23]. Warunek ciągłości pochodnej ${\displaystyle (f\in {\mathcal {C}}^{1})}$ nie usuwa jednak takich przypadków. Nie robi tego nawet postulat dwukrotnej różniczkowalności z ciągłą drugą pochodną ${\displaystyle (f\in {\mathcal {C}}^{2}).}$ Istnieją funkcje tej klasy, które również przecinają swoją styczną bez zmiany wypukłości w tym punkcie^[24]:

${\displaystyle k(x):={\begin{cases}x^{5}(1+\sin ^{2}{\frac {1}{x}})&{\text{dla }}x\neq 0,\\0&{\text{dla }}x=0.\end{cases}}}$

Warunki konieczne i wystarczające

W przegięciach druga pochodna w ogólności nie musi istnieć, ale może przyjmować tylko zerową wartość ${\displaystyle (f''(x_{0})=0)}$^[3][4]. Ten warunek konieczny nie jest jednak warunkiem wystarczającym:

• jeśli obie pochodne (pierwsza i druga) się zerują, to punkt może nie być przegięciem, lecz ekstremum^[25] – por. ${\displaystyle y=x^{4};}$
• jeśli druga pochodna się zeruje, a pierwsza nie, to punkt nie jest ekstremum, ale nie musi też być przegięciem; por. jedna z dalszych ilustracji.

Dla różnych klas funkcji można wskazać różne warunki wystarczające przegięcia:

• Jeśli funkcja ma obustronną pochodną w pewnym otoczeniu punktu ${\displaystyle x_{0},}$ wówczas warunkiem wystarczającym jest właściwe ekstremum lokalne pierwszej pochodnej w punkcie ${\displaystyle x_{0}.}$ Ten warunek nie jest w ogólności konieczny – w sąsiedztwie przegięcia pochodna może w ogóle nie istnieć^[26]. Mimo to, tak jak napisano wyżej, czasem zakłada się różniczkowalność badanej funkcji w całym przedziale – wprost lub przez definiowanie wypukłości za pomocą stycznych.
• Warunkiem wystarczającym istnienia punktu przegięcia jest też istnienie drugiej pochodnej funkcji równej zeru w punkcie ${\displaystyle x_{0}}$ oraz zmiana jej znaku w tym punkcie^[4].
• Dla funkcji trzykrotnie różniczkowalnej warunkiem wystarczającym jest: ${\displaystyle f''(x_{0})=0\wedge f'''(x_{0})\neq 0.}$ W ogólności: jeśli w jakimś punkcie pierwsza nieznikająca (różna od zera) pochodna jest rzędu nieparzystego większego niż dwa, to jest tam przegięcie^[27].

Rola przegięć

Poszukiwanie przegięć to jeden z klasycznych elementów badania przebiegu zmienności funkcji rzeczywistych^[14] ${\displaystyle (f\colon X\rightarrow \mathbb {R} ,X\subseteq \mathbb {R} ).}$ Punkty te mogą się pojawić w analizie pochodnych, począwszy od pierwszej – mogą się znaleźć wśród punktów krytycznych badanej funkcji ${\displaystyle (f).}$ Przegięcia – tak jak lokalne ekstrema – mogą występować zarówno wśród:

• punktów nieróżniczkowalności (braku pochodnej)^[14]; przy czym taki punkt może być jednocześnie i ekstremum, i przegięciem^[22];
• punktów stacjonarnych, czyli miejsc zerowych pierwszej pochodnej ${\displaystyle (f'(x_{s})=0).}$ Takie punkty stacjonarne bez ekstremum w przypadku jednowymiarowym mogą należeć do przegięć. Bywają nazywane punktami siodłowymi^[28], przy czym te ostatnie są też definiowane inaczej – geometrycznie, jako punkty zerowej krzywizny^[29]. Wtedy punkty siodłowe nie są szczególnym przypadkiem różniczkowalnych przegięć, lecz ich uogólnieniem na wiele wymiarów.

W ogólności przegięcie wykresu nie ma ścisłego związku z pierwszą pochodną. Jeśli w takich punktach ona istnieje, to może mieć dowolny znak i być nieskończona (niewłaściwa), co ilustrują wykresy obok. Przegięcia są bliżej związane z dalszymi pochodnymi – przez różne warunki konieczne lub wystarczające, opisane wyżej.

Przegięcia wielomianów

Wielomian n-tego stopnia ${\displaystyle (n\geqslant 2)}$ ma co najwyżej ${\displaystyle n-2}$ punktów przegięcia^{[potrzebny przypis]}. Wynika to z połączenia trzech faktów:

• podwójna różniczkowalność wielomianów, dająca też ciągłą drugą pochodną (klasa ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}}$); przegięcia takich funkcji muszą spełniać warunek konieczny, jakim jest zerowanie się drugiej pochodnej ${\displaystyle (f''(x_{0})=0);}$
• wzór na pochodną wielomianu – dla ${\displaystyle n\geqslant 1}$ pochodna zmniejsza stopień wielomianu o jeden. Przez to druga pochodna ma stopień niższy o dwa ${\displaystyle (\deg f''=\deg f-2);}$
• zasadnicze twierdzenie algebry mówi między innymi, że liczba pierwiastków rzeczywistych wielomianu rzeczywistego nie przekracza jego stopnia; tutaj liczba pierwiastków drugiej pochodnej nie przekracza ${\displaystyle n-2.}$

W szczególności funkcje kwadratowe – dla których ${\displaystyle n=2}$ – nie mają przegięć. Dotyczy to także wielomianów stopnia niższego niż dwa, czasem zwanych funkcjami liniowymi^{[potrzebny przypis]}.

Uogólnienie na inne krzywe płaskie

Pojęcie punktu przegięcia może też zostać uogólnione na krzywe płaskie niebędące wykresami funkcji, zwłaszcza na krzywe z punktami regularnymi, tj. o unikalnej stycznej. Tak jak wspomniano, tutaj również występują różne konwencje:

• nieformalnie – w punkcie przegięcia krzywa przechodzi z jednej strony stycznej na drugą^[30];

• w sensie ścisłym i węższym^[5]: w pewnym sąsiedztwie przegięcia krzywa zawiera się we wnętrzu kątów wierzchołkowych utworzonych przez styczną i normalną^[6];

• inna ścisła definicja mówi o rozdzielaniu punktów o krzywiźnie dodatniej i ujemnej^[7], co wymaga zerowania się krzywizny w tym punkcie^[31]. Tak rozumiane przegięcie jest szczególnym, jednowymiarowym przypadkiem punktu siodłowego lub – przy innych definicjach – jego odpowiednikiem.

W miarę zbliżania się do punktu przegięcia promień krzywizny wykresu funkcji dwukrotnie różniczkowalnej rośnie do nieskończoności. Mówi się skrótowo, że jest on w punkcie przegięcia nieskończony. Oznacza to, że w otoczeniu punktu przegięcia krzywa (w szczególności np. wykres funkcji) jest lepiej przybliżana linią prostą niż łukiem okręgu^{[potrzebny przypis]}.

Zobacz też

• funkcja monotoniczna

Uwagi

Przypisy

Bibliografia

Książki publikowane drukiem

• Stefan Banach: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. VI. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1957.
• G.M. Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. 12. T. 1. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1999. ISBN 83-01-02175-6.
• Jerzy Królikowski, Celestyn Steckiewicz: Matematyka. Wzory, definicje i tablice. Wyd. VIII poprawione. Warszawa: Wydawnictwa Komunikacji i Łączności, 1964.
• Michał Krych: Analiza matematyczna dla ekonomistów. Wyd. I. Warszawa: Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego, 2010. ISBN 978-83-235-0776-5.
• Włodzimierz Krysicki, Lech Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach. Wyd. XXI. T. 1. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1994. ISBN 83-01-01460-1.
• Włodzimierz Krysicki, Lech Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach. Wyd. 27. T. 2. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006. ISBN 978-83-01-14296-4.
• Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy ze wstępem do równań różniczkowych. Wyd. VI. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1963, seria: Biblioteka Matematyczna, tom 2.
• Anna Leksińska, Wacław Leksiński: Elementy matematyki wyższej dla studentów i kandydatów na studia. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, seria: Matematyka dla politechnik.
• Wacław Leksiński, Ireneusz Nabiałek, Wojciech Żakowski: Matematyka. Definicje, twierdzenia, przykłady, zadania. Wyd. V. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1995, seria: Podręczniki akademickie: elektronika, informatyka, telekomunikacja. ISBN 83-204-1892-5.
• Jerzy Ryll, Maciej Skwarczyński: Działania nieskończone [w:] Leksykon matematyczny. Warszawa: Wydawnictwo „Wiedza Powszechna”, 1995. ISBN 83-214-0783-8.
• Włodzimierz Wrona: Matematyka. Podstawowy wykład politechniczny, część I. Wyd. II poprawione. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1965.
• Dariusz Wrzosek: Matematyka dla biologów. Wyd. II, zmienione. Warszawa: Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego, 2016. ISBN 978-83-235-0460-3.
• G.I. Zaporożec: Metody rozwiązywania zadań z analizy matematycznej. Piotr Kucharczyk (tłum.). Wyd. I. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1967.
• Wojciech Żakowski: punkt przegięcia, [w:] Mały słownik matematyczny. Warszawa: Wydawnictwo „Wiedza Powszechna”, 1972.

Dokumenty cyfrowe

• PawełP. Strzelecki PawełP., Analiza matematyczna I (skrypt wykładu) [online], 14 grudnia 2018 [dostęp 2022-01-27] .

Linki zewnętrzne

• Mariusz Śliwiński, Wklęsłość i wypukłość krzywej, math.edu.pl [dostęp 2022-07-02].