Rozkład dzeta

Rozkład dzeta
Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa
Ilustracja
Wykres prawdopodobieństwa w rozkładzie dzeta
Wykres prawdopodobieństwa w rozkładzie dzeta. Obydwie skale logarytmiczne. (Uwaga: Funkcja jest zdefiniowana tylko dla całkowitych wartości k. Łączące je linie nie oznaczają ciągłości.)
Dystrybuanta
Ilustracja
Parametry

s ∈ ( 1 , ∞ ) {\displaystyle s\in (1,\infty )}

Nośnik

k ∈ { 1 , 2 , … } {\displaystyle k\in \{1,2,\dots \}}

Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa

1 / k s ζ ( s ) {\displaystyle {\frac {1/k^{s}}{\zeta (s)}}}

Dystrybuanta

H k , s ζ ( s ) {\displaystyle {\frac {H_{k,s}}{\zeta (s)}}}

Wartość oczekiwana (średnia)

ζ ( s − 1 ) ζ ( s )   dla   s > 2 {\displaystyle {\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}~{\textrm {dla}}~s>2}
gdzie ζ(s) to funkcja dzeta Riemanna

Moda

1 {\displaystyle 1}

Wariancja

ζ ( s ) ζ ( s − 2 ) − ζ ( s − 1 ) 2 ζ ( s ) 2   dla   s > 3 {\displaystyle {\frac {\zeta (s)\zeta (s-2)-\zeta (s-1)^{2}}{\zeta (s)^{2}}}~{\textrm {dla}}~s>3}

Entropia

∑ k = 1 ∞ 1 / k s ζ ( s ) log ⁡ ( k s ζ ( s ) ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1/k^{s}}{\zeta (s)}}\log(k^{s}\zeta (s))}

Funkcja tworząca momenty

Li s ⁡ ( e t ) ζ ( s ) {\displaystyle {\frac {\operatorname {Li} _{s}(e^{t})}{\zeta (s)}}}

Funkcja charakterystyczna

Li s ⁡ ( e i t ) ζ ( s ) {\displaystyle {\frac {\operatorname {Li} _{s}(e^{it})}{\zeta (s)}}}

Rozkład dzeta – dyskretny rozkład prawdopodobieństwa, będący granicą rozkładu Zipfa dla parametru N dążącego do nieskończoności.

Jeśli X jest zmienną losową o rozkładzie dzeta, to wykładniki przy poszczególnych czynnikach w rozkładzie na czynniki pierwsze są niezależnymi zmiennymi losowymi.