Rozkład wykładniczy

Rozkład wykładniczy
Gęstość prawdopodobieństwa
Ilustracja
Dystrybuanta
Ilustracja
Parametry

λ > 0 {\displaystyle \lambda >0} odwrotność parametru skali (liczba rzeczywista)

Nośnik

[ 0 , ∞ ) {\displaystyle [0,\infty )}

Gęstość prawdopodobieństwa

λ e − λ x ⋅ 1 [ 0 , ∞ ) {\displaystyle \lambda e^{-\lambda x}\cdot \mathbf {1} _{[0,\infty )}} [1]

Dystrybuanta

1 − e − λ x {\displaystyle 1-e^{-\lambda x}} [1]

Wartość oczekiwana (średnia)

1 λ {\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}} [2]

Mediana

ln ⁡ ( 2 ) λ {\displaystyle {\frac {\ln(2)}{\lambda }}}

Moda

0 {\displaystyle 0}

Wariancja

1 λ 2 {\displaystyle {\frac {1}{\lambda ^{2}}}} [2]

Współczynnik skośności

2 {\displaystyle 2}

Kurtoza

6 {\displaystyle 6}

Entropia

1 − ln ⁡ ( λ ) {\displaystyle 1-\ln(\lambda )}

Funkcja tworząca momenty

( 1 − t λ ) − 1 {\displaystyle \left(1-{\frac {t}{\lambda }}\right)^{-1}}

Funkcja charakterystyczna

( 1 − i t λ ) − 1 {\displaystyle \left(1-{\frac {it}{\lambda }}\right)^{-1}}

Rozkład wykładniczy – rozkład zmiennej losowej opisujący sytuację, w której oczekujemy na zjawisko całkowicie losowe, mogące zajść w dowolnej chwili t ⩾ 0 , {\displaystyle t\geqslant 0,} przy czym rozkład prawdopodobieństwa nie zmienia się, jeśli wiemy, że zjawisko nie zaszło w przedziale czasu [ 0 , s ] . {\displaystyle [0,s].} Ściślej, jeśli oznaczymy tę zmienną przez X , {\displaystyle X,} możemy tę własność braku pamięci zapisać jako

P ( X > s + t | X > s ) = P ( X > t ) . {\displaystyle \mathbb {P} \left(X>s+t|X>s\right)=\mathbb {P} \left(X>t\right).}

Okazuje się, że wówczas, jeśli X {\displaystyle X} ma rozkład ciągły określony na przedziale [ 0 , ∞ ) , {\displaystyle [0,\infty ),} to jego gęstość musi być równa λ e − λ x , {\displaystyle \lambda e^{-\lambda x},} dla pewnego λ > 0 {\displaystyle \lambda >0} [1].

Rozkład wykładniczy jest specjalnym przypadkiem rozkładu gamma, tzn. gdy X {\displaystyle X} ma rozkład G a m m a ( 1 , λ ) , {\displaystyle \mathrm {Gamma} (1,\lambda ),} to X {\displaystyle X} ma rozkład E x p ( λ ) . {\displaystyle \mathrm {Exp} (\lambda ).} Co więcej, jeśli zmienne X 1 , X 2 , … , X n {\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}} są niezależne i mają rozkład E x p ( λ ) , {\displaystyle \mathrm {Exp} (\lambda ),} to zmienna X 1 + X 2 + … + X n {\displaystyle X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{n}} ma rozkład G a m m a ( n , λ ) {\displaystyle \mathrm {Gamma} (n,\lambda )} [3].

Innymi słowy, jeżeli w jednostce czasu zachodzi średnio λ {\displaystyle \lambda } niezależnych zdarzeń, to rozkład wykładniczy opisuje odstępy czasu pomiędzy kolejnymi zdarzeniami, co służy konstrukcji procesu Poissona[4].

Zobacz też

Przypisy

  1. ↑ a b c Osękowski ↓, s. 26.
  2. ↑ a b Osękowski ↓, s. 36.
  3. ↑ Osękowski ↓, s. 31.
  4. ↑ Niemiro ↓, s. 43.

Bibliografia

  • Britannica: topic/exponential-distribution
  • DSDE: eksponentialfordeling