Rozkład arcusa sinusa

Rozkład arcusa sinusa
Gęstość prawdopodobieństwa
Ilustracja
Dystrybuanta
Ilustracja
Nośnik

x ∈ [ 0 , 1 ) {\displaystyle x\in [0,1)}

Gęstość prawdopodobieństwa

f ( x ) = 1 π x ( 1 − x ) {\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}}}

Dystrybuanta

F ( x ) = 2 π arcsin ⁡ ( x ) {\displaystyle F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {x}}\right)}

Wartość oczekiwana (średnia)

1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}}

Mediana

1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}}

Moda

x ∈ { 0 , 1 } {\displaystyle x\in \{0,1\}}

Wariancja

1 8 {\displaystyle {\tfrac {1}{8}}}

Współczynnik skośności

0

Kurtoza

− 3 2 {\displaystyle -{\tfrac {3}{2}}}

Entropia

ln ⁡ π 4 {\displaystyle \ln {\tfrac {\pi }{4}}}

Funkcja tworząca momenty

1 + ∑ k = 1 ∞ ( ∏ r = 0 k − 1 2 r + 1 2 r + 2 ) t k k ! {\displaystyle 1+\sum _{k=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {2r+1}{2r+2}}\right){\frac {t^{k}}{k!}}}

Funkcja charakterystyczna

1 F 1 ( 1 2 ; 1 ; i t ) {\displaystyle {}_{1}F_{1}({\tfrac {1}{2}};1;i\,t)}

Rozkład arcusa sinusa – rozkład prawdopodobieństwa, którego dystrybuanta wyraża się wzorem

F ( x ) = 2 π arcsin ⁡ ( x ) = arcsin ⁡ ( 2 x − 1 ) π + 1 2 ( x ∈ R ) . {\displaystyle F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {x}}\right)={\frac {\arcsin(2x-1)}{\pi }}+{\frac {1}{2}}\quad (x\in \mathbb {R} ).}

Rozkład arcusa sinusa jest szczególnym przypadkiem rozkładu beta o parametrach α = β = 1 / 2 {\displaystyle \alpha =\beta =1/2} i wyraża on czas pobytu po stronie dodatniej w procesie Wienera na odcinku [0,1][1].

Przypisy

Bibliografia

  • Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: Script, 2004. ISBN 83-89716-01-1.