Rozkład Fishera-Tippetta

Rozkład Fishera-Tippetta
Gęstość prawdopodobieństwa
Ilustracja
Funkcja gęstości prawdopodobieństwa rozkładu dla różnych wartości parametrów λ {\displaystyle \lambda } i β {\displaystyle \beta }
Dystrybuanta
Ilustracja
Dystrybuanta rozkładu dla różnych wartości parametrów λ {\displaystyle \lambda } i β {\displaystyle \beta }
Parametry

λ {\displaystyle \lambda } parametr położenia (liczba rzeczywista)
β > 0 {\displaystyle \beta >0} parametr skali (liczba rzeczywista)

Nośnik

x ∈ ( − ∞ ; + ∞ ) {\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )}

Gęstość prawdopodobieństwa

z exp ⁡ ( − z ) β {\displaystyle {\frac {z\,\exp(-z)}{\beta }}}
gdzie z = exp ⁡ [ − x − λ β ] {\displaystyle z=\exp \left[-{\frac {x-\lambda }{\beta }}\right]}

Dystrybuanta

exp ⁡ ( − exp ⁡ [ − ( x − λ ) / β ] ) {\displaystyle \exp(-\exp[-(x-\lambda )/\beta ])}

Wartość oczekiwana (średnia)

λ + β γ {\displaystyle \lambda +\beta \,\gamma }

Mediana

λ − β ln ⁡ ( ln ⁡ ( 2 ) ) {\displaystyle \lambda -\beta \,\ln(\ln(2))}

Moda

λ {\displaystyle \lambda }

Wariancja

π 2 6 β 2 {\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}\,\beta ^{2}}

Współczynnik skośności

12 6 ζ ( 3 ) π 3 ≈ 1 , 14 {\displaystyle {\frac {12{\sqrt {6}}\,\zeta (3)}{\pi ^{3}}}\approx 1{,}14}

Kurtoza

12 5 {\displaystyle {\frac {12}{5}}}

Funkcja tworząca momenty

Γ ( 1 − β t ) exp ⁡ ( λ t ) {\displaystyle \Gamma (1-\beta \,t)\,\exp(\lambda \,t)}

Funkcja charakterystyczna

Γ ( 1 − i β t ) exp ⁡ ( i λ t ) {\displaystyle \Gamma (1-i\,\beta \,t)\,\exp(i\,\lambda \,t)}

Rozkład Fishera-Tippetta – rozkład zmiennej losowej służący do wyznaczania ekstremalnych wartości zmiennej losowej w pewnym przedziale czasu. Większość losowych zjawisk naturalnych (takich jak temperatura otoczenia, prędkość wiatru) daje się dobrze opisywać tym rozkładem.

Rozkład Gumbela jest szczególnym przypadkiem rozkładu Fishera-Tippetta, dla:

λ = 0 , β = 1 {\displaystyle \lambda =0,\beta =1}