Rozkład chi

Sprzątanie Wikipedii
 Ten artykuł należy dopracować:
wykresy.
Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu.
Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.
rozkład χ
Gęstość prawdopodobieństwa
Ilustracja
Parametry

A, B, ν

Gęstość prawdopodobieństwa

f ( x ) = ( x − A B ) ν − 1 e − 1 2 ( x − A B ) 2 2 ν 2 − 1 B Γ ( ν 2 ) {\displaystyle f(x)={\frac {\left({\frac {x-A}{B}}\right)^{\nu -1}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-A}{B}}\right)^{2}}}{2^{{\frac {\nu }{2}}-1}B\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}}

Dystrybuanta

F ( x ) = Γ ( ν 2 , 1 2 ( x − A B ) 2 ) {\displaystyle F(x)=\Gamma \left({\frac {\nu }{2}},{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-A}{B}}\right)^{2}\right)}

Wartość oczekiwana (średnia)

A + 2 B Γ ( ν + 1 2 ) Γ ( ν 2 ) {\displaystyle A+{\frac {{\sqrt {2}}B\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}}

Mediana

nie może być wyrażona za pomocą funkcji elementarnych

Moda

A + B ν − 1 {\displaystyle A+B{\sqrt {\nu -1}}}

Wariancja

B 2 [ ν − 2 Γ 2 ( ν + 1 2 ) Γ 2 ( ν 2 ) ] {\displaystyle B^{2}\left[\nu -{\frac {2\Gamma ^{2}\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{\Gamma ^{2}\left({\frac {\nu }{2}}\right)}}\right]}

Współczynnik skośności

2 [ 4 Γ 3 ( ν + 1 2 ) + Γ 2 ( ν 2 ) ( 2 Γ ( ν + 3 2 ) − 3 ν Γ ( ν + 1 2 ) ) ] Γ 3 ( ν 2 ) [ ν − 2 Γ 2 ( ν + 1 2 ) Γ 2 ( ν 2 ) ] 3 2 {\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}\left[4\Gamma ^{3}\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)+\Gamma ^{2}\left({\frac {\nu }{2}}\right)\left(2\Gamma \left({\frac {\nu +3}{2}}\right)-3\nu \Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)\right)\right]}{\Gamma ^{3}\left({\frac {\nu }{2}}\right)\left[\nu -{\frac {2\Gamma ^{2}\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{\Gamma ^{2}\left({\frac {\nu }{2}}\right)}}\right]^{\frac {3}{2}}}}}

Kurtoza

2 ν ( 1 − ν ) Γ 4 ( ν 2 ) − 24 Γ 4 ( ν + 1 2 ) [ ν Γ 2 ( ν 2 ) − 2 Γ 2 ( ν + 1 2 ) ] 2 + {\displaystyle {\frac {2\nu (1-\nu )\Gamma ^{4}\left({\frac {\nu }{2}}\right)-24\Gamma ^{4}\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{\left[\nu \Gamma ^{2}\left({\frac {\nu }{2}}\right)-2\Gamma ^{2}\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)\right]^{2}}}+}
+ 8 ( 2 ν − 1 ) Γ 2 ( ν 2 ) Γ 2 ( ν + 1 2 ) [ ν Γ 2 ( ν 2 ) − 2 Γ 2 ( ν + 1 2 ) ] 2 {\displaystyle +{\frac {8(2\nu -1)\Gamma ^{2}\left({\frac {\nu }{2}}\right)\Gamma ^{2}\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{\left[\nu \Gamma ^{2}\left({\frac {\nu }{2}}\right)-2\Gamma ^{2}\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)\right]^{2}}}}

Rozkład chi (zapisywany jako rozkład χ) to rozkład prawdopodobieństwa typu ciągłego.

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa tego rozkładu dana jest wzorem:

f ( x ) = ( x − A B ) ν − 1 e − 1 2 ( x − A B ) 2 2 ν 2 − 1 B Γ ( ν 2 ) , {\displaystyle f(x)={\frac {\left({\frac {x-A}{B}}\right)^{\nu -1}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-A}{B}}\right)^{2}}}{2^{{\frac {\nu }{2}}-1}B\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}},}

gdzie A , B , ν {\displaystyle A,B,\nu } to parametry rozkładu, zaś Γ oznacza funkcję gamma.

Parametr ν {\displaystyle \nu } nazywany jest liczbą stopni swobody rozkładu, musi być liczbą większą od 0.

Dystrybuanta tego rozkładu ma postać:

F ( x ) = Γ ( ν 2 , 1 2 ( x − A B ) 2 ) . {\displaystyle F(x)=\Gamma \left({\frac {\nu }{2}},{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-A}{B}}\right)^{2}\right).}

Własności:

  • Jeśli zmienna losowa X {\displaystyle X} ma rozkład chi-kwadrat, to zmienna losowa X {\displaystyle {\sqrt {X}}} ma rozkład chi.
  • Mediana nie może być wyrażona za pomocą funkcji elementarnych, natomiast skośność i kurtoza wyrażają się wzorami:

skośność:

2 [ 4 Γ 3 ( ν + 1 2 ) + Γ 2 ( ν 2 ) ( 2 Γ ( ν + 3 2 ) − 3 ν Γ ( ν + 1 2 ) ) ] Γ 3 ( ν 2 ) [ ν − 2 Γ 2 ( ν + 1 2 ) Γ 2 ( ν 2 ) ] 3 2 {\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}\left[4\Gamma ^{3}\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)+\Gamma ^{2}\left({\frac {\nu }{2}}\right)\left(2\Gamma \left({\frac {\nu +3}{2}}\right)-3\nu \Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)\right)\right]}{\Gamma ^{3}\left({\frac {\nu }{2}}\right)\left[\nu -{\frac {2\Gamma ^{2}\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{\Gamma ^{2}\left({\frac {\nu }{2}}\right)}}\right]^{\frac {3}{2}}}}}

kurtoza:

2 ν ( 1 − ν ) Γ 4 ( ν 2 ) − 24 Γ 4 ( ν + 1 2 ) [ ν Γ 2 ( ν 2 ) − 2 Γ 2 ( ν + 1 2 ) ] 2 + {\displaystyle {\frac {2\nu (1-\nu )\Gamma ^{4}\left({\frac {\nu }{2}}\right)-24\Gamma ^{4}\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{\left[\nu \Gamma ^{2}\left({\frac {\nu }{2}}\right)-2\Gamma ^{2}\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)\right]^{2}}}+}
+ 8 ( 2 ν − 1 ) Γ 2 ( ν 2 ) Γ 2 ( ν + 1 2 ) [ ν Γ 2 ( ν 2 ) − 2 Γ 2 ( ν + 1 2 ) ] 2 {\displaystyle +{\frac {8(2\nu -1)\Gamma ^{2}\left({\frac {\nu }{2}}\right)\Gamma ^{2}\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{\left[\nu \Gamma ^{2}\left({\frac {\nu }{2}}\right)-2\Gamma ^{2}\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)\right]^{2}}}}

Specjalne przypadki:

  • ν = 1 {\displaystyle \nu =1} – rozkład półnormalny
  • ν = 2 ,   A = 0 {\displaystyle \nu =2,\ A=0} – rozkład Rayleigha
  • ν = 3 ,   A = 0 {\displaystyle \nu =3,\ A=0} – rozkład Maxwella

Zobacz też