Mersenne-Zahl

Eine Mersenne-Zahl ist eine Zahl der Form ${\displaystyle 2^{n}-1}$. Im Speziellen bezeichnet man mit ${\displaystyle M_{n}=2^{n}-1}$ die ${\displaystyle n}$-te Mersenne-Zahl. Die ersten sieben Mersenne-Zahlen ${\displaystyle M_{n}}$ sind

${\displaystyle 1,3,7,15,31,63,127}$ (Folge A000225 in OEIS).

Die Primzahlen unter den Mersenne-Zahlen werden Mersenne-Primzahlen genannt. Die ersten acht Mersenne-Primzahlen ${\displaystyle M_{p}}$ sind

${\displaystyle 3,7,31,127,8191,131071,524287,2147483647}$ (Folge A000668 in OEIS)

für die Exponenten ${\displaystyle p=2,3,5,7,13,17,19,31}$ (Folge A000043 in OEIS).

Bei der Darstellung im Dualsystem zeigen sich Mersennezahlen als Einserkolonnen, d. h. Zahlen, die ausschließlich aus Einsen bestehen. Die ${\displaystyle n}$-te Mersennezahl ist im Dualsystem eine Zahl mit ${\displaystyle n}$ Einsen (Beispiel: ${\displaystyle M_{3}=7=111_{2}}$). Mersenne-Zahlen zählen im Binären zu den Zahlenpalindromen, Mersenne-Primzahlen dementsprechend zu den Primzahlpalindromen.

Mersenne-Vermutungstabelle: p ≤ 263

P: Mp ist prim —: Mp ist eine Composite-Mersenne-Zahl Cyan: richtig bei Mersenne Rosa: hier irrte Mersenne
p	2	3	5	7	11	13	17	19
Mp	P	P	P	P	—	P	P	P
p	23	29	31	37	41	43	47	53
Mp	—	—	P	—	—	—	—	—
p	59	61	67	71	73	79	83	89
Mp	—	P	—	—	—	—	—	P
p	97	101	103	107	109	113	127	131
Mp	—	—	—	P	—	—	P	—
p	137	139	149	151	157	163	167	173
Mp	—	—	—	—	—	—	—	—
p	179	181	191	193	197	199	211	223
Mp	—	—	—	—	—	—	—	—
p	227	229	233	239	241	251	257	263
Mp	—	—	—	—	—	—	—	—

Ihren Namen haben diese Primzahlen von dem französischen Mönch und Priester Marin Mersenne (1588–1648), der im Vorwort seiner Cogitata Physico-Mathematica^[1] behauptete, dass für ${\displaystyle p=2,3,5,7,13,17,19,31,67,127}$ und ${\displaystyle 257}$ die Zahl ${\displaystyle M_{p}}$ eine Primzahl sei.

Er irrte sich jedoch bei den Zahlen ${\displaystyle M_{67}}$ und ${\displaystyle M_{257}}$ und übersah die Mersenne-Primzahlen ${\displaystyle M_{61}}$, ${\displaystyle M_{89}}$ und ${\displaystyle M_{107}}$. Dass ${\displaystyle M_{67}}$ keine Primzahl ist, hat Édouard Lucas 1876 gezeigt, aber erst im Jahre 1903 konnte der Mathematiker Frank Nelson Cole die Primfaktoren dieser Zahl benennen. Um den Nachweis zu führen, dass ${\displaystyle M_{257}}$ keine Primzahl ist, wurde 1932 eine frühe Rechenmaschine verwendet. Bei der Zahl ${\displaystyle M_{67}}$ handelt es sich möglicherweise um einen Lesefehler seitens Mersenne aus seiner Korrespondenz mit Bernard Frénicle de Bessy und Pierre de Fermat, wobei er ${\displaystyle p=61}$ mit ${\displaystyle p=67}$ verwechselte.

Mersenne-Zahlen kommen auch beim Mersenne-Twister vor, einem Pseudozufallszahlengenerator.

Geschichte

Mersenne-Zahlen wurden zuerst in der Antike im Zusammenhang mit vollkommenen Zahlen untersucht. Eine natürliche Zahl wird vollkommen genannt, wenn sie gleich der Summe ihrer echten Teiler ist (Beispiel: ${\displaystyle 6=1+2+3}$). Schon Euklid hatte gezeigt, dass die Zahl ${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)}$ vollkommen ist, wenn ${\displaystyle 2^{n}-1}$ eine Primzahl ist (${\displaystyle n=2}$ liefert die Zahl ${\displaystyle 6}$). 2000 Jahre später wurde von Euler die Umkehrung für gerade vollkommene Zahlen gezeigt: jede gerade vollkommene Zahl ist von der Form ${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)}$, wobei ${\displaystyle 2^{n}-1}$ eine Primzahl ist.^[2]

Ungerade vollkommene Zahlen sind bisher nicht gefunden worden, allerdings konnte ihre Existenz bis heute weder bewiesen noch widerlegt werden.

Die ersten vier vollkommenen Zahlen ${\displaystyle 6,28,496}$ und ${\displaystyle 8128}$ waren schon in der Antike bekannt. Die Suche nach weiteren vollkommenen Zahlen motivierte die Suche nach weiteren Mersenne-Primzahlen. Denn die vollkommenen Zahlen sind exakt die Dreieckszahlen aus den Mersenne-Primzahlen. Die wichtigste dabei zu beachtende Eigenschaft ist die folgende:

Ist ${\displaystyle n}$ eine zusammengesetzte Zahl, so ist auch ${\displaystyle M_{n}}$ eine zusammengesetzte Zahl. Dass ${\displaystyle 2^{a\cdot b}-1}$ von ${\displaystyle 2^{a}-1}$ und von ${\displaystyle 2^{b}-1}$ ohne Rest geteilt wird, kann mit Hilfe einer Polynomdivision gezeigt werden, falls ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ natürliche Zahlen ohne die Null sind.

Daraus folgt unmittelbar, dass der Exponent ${\displaystyle p}$ einer Mersenne-Primzahl ${\displaystyle M_{p}=2^{p}-1}$ selbst eine Primzahl ist. Durch diese Eigenschaft wird die Suche nach Mersenne-Primzahlen erleichtert, da nur noch Mersenne-Zahlen mit Primzahlexponent betrachtet werden müssen.

Der Umkehrschluss, dass ${\displaystyle M_{p}}$ prim ist, wenn ${\displaystyle {p}}$ prim ist, ist jedoch falsch, da beispielsweise ${\displaystyle M_{11}'=2047=23\cdot 89}$ keine Primzahl ist.

Mersenne-Primzahlen sind selten: bislang (Stand April 2023) sind erst 51 davon gefunden worden. Da es einen besonders effizienten Primzahltest für sie gibt, sind die größten bekannten Primzahlen Mersenne-Primzahlen.

Jahr	Ereignis
bis 1536	Man glaubt, dass für alle Primzahlen p gilt, 2p–1 sei prim.
1536	Der deutsche Rechenmeister Ulrich Rieger (lat. Hudalrichus Regius) veröffentlicht in seinem Rechenbuch Utriusque Arithmetices epitome[3] als erster die fünfte vollkommene Zahl 212·(213–1) = 4096 · 8191 = 33550336 in gedruckter Form. Nachdem die Zahlen 511 und 2047 in seiner tabellarischen Übersicht nicht vorkommen, darf man annehmen, dass er 211–1 = 2047 = 23 · 89 als zusammengesetzt erkannt hat, obgleich er dies nicht extra erwähnt.
1555	Johann Scheubel veröffentlicht in seiner deutschen Übersetzung der Bücher VII-IX von Euklids Elementen die nächsten beiden vollkommenen Zahlen 216·(217–1) = 65536 · 131071 = 8589869056 und 218·(219–1) = 262144 · 524287 = 137438691328.[4] Die zweiten Faktoren sind die Mersenneschen Primzahlen M17 und M19. Allerdings hat er sowohl 211–1 = 2047 = 23 · 89, als auch 215–1 = 32767 = 7 · 31 · 151 nicht als zusammengesetzt erkannt, dafür aber 221–1 = 2097151 = 72 · 127 · 337. (Die Zerlegungen gibt er allerdings an dieser Stelle nicht an.) Er erhält in seinem Werk also fälschlicherweise neun, anstatt der korrekten sieben vollkommenen Zahlen.
1603	Pietro Cataldi (1548–1626) zeigt, dass 2p–1 prim ist für p = 17, 19 und vermutet dies korrekt für p = 31. Fälschlicherweise glaubt er es auch für p = 23, 29 und 37.
1640	Fermat widerlegt Cataldi für p = 23 und p = 37: 223–1 = 47 · 178481 und 237–1 = 223 · 616318177 sind keine Primzahlen.
1644	Mersenne behauptet, 2p–1 sei prim für p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 und 257, jedoch nicht prim für alle anderen natürlichen Zahlen kleiner als 257 (Vorwort zu seinem Werk Cogitata Physico-Mathematica). Wir wissen heute, dass diese Behauptung jedoch falsch ist, denn 2p–1 ist prim sowohl für p = 61 (Perwuschin, 1883) als auch für p = 89 (Powers, 1911) und p = 107 (Powers und Fauquembergue, 1914), zudem sind 267–1 (Lucas, 1876; Cole 1903) und 2257–1 (Lehmer, 1932) zusammengesetzt.
1738	Euler widerlegt Cataldi für p = 29: 229-1 = 233 · 1103 · 2089.
1750	Euler bestätigt, dass Cataldi für p = 31 richtig lag: 231–1 ist prim.
1870	Édouard Lucas (1842–1891) formuliert die theoretischen Grundlagen für den Lucas-Lehmer-Test.
1876	Lucas bestätigt Mersenne: 2127–1 ist prim und widerspricht: 267-1 ist nicht prim, Faktoren bleiben unbekannt.
1883	Iwan Michejowitsch Pervuschin (1827–1900), ein russischer Mathematiker und orthodoxer Priester aus Perm/Russland, zeigt, dass 261–1 prim ist (Widerspruch zu Mersenne).
1903	Frank Nelson Cole benennt die Primfaktoren von 267-1 = 193707721 · 761838257287.
1911	Ralph Ernest Powers widerspricht Mersenne für p = 89: 2p–1 ist prim.[5]
1914	Powers widerspricht Mersenne auch für p = 107: 2p–1 ist prim. Fast gleichzeitig kommt auch E. Fauquembergue zu dieser Aussage.[6]
1930	Derrick Henry Lehmer (1905–1991) formuliert den Lucas-Lehmer Test.
1932	Lehmer zeigt: M(149) und M(257) sind nicht prim,[7] er rechnet dazu ein Jahr lang täglich zwei Stunden an einem Tischrechner.[8]
1934	Powers zeigt: M(241) ist nicht prim.[9]
1944	Horace S. Uhler zeigt: M(157) und M(167) sind nicht prim.[10]
1945	Uhler zeigt: M(229) ist nicht prim.[11]
1947	Uhler zeigt: M(199) ist nicht prim.[12]
1947	Der Bereich von 1 bis 257 ist nun vollständig überprüft. Man kennt jetzt die Mersenne-Primzahlen M(p) für p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 und 127.[13]
1951	Beginn des Einsatzes von Computern. Die Länge der größten bekannten Primzahl steigt bis 1952 von 39 Stellen auf 687 Dezimalstellen.
1963	Donald Gillies entdeckt M(11.213) mit 3.376 Stellen.[14]
1996	Joel Armengaud und George Woltman entdecken mit GIMPS M(1.398.269) mit 420.921 Stellen.
1999	Mit M(6.972.593), die 2.098.960 Stellen hat, kennt man am 1. Juni erstmals eine Primzahl mit mehr als 1 Million Stellen.
2004	Am 15. Mai wird nachgewiesen, dass M(24.036.583), eine Zahl mit 7.235.733 Stellen, prim ist.
2005	Am 18. Februar wird vom GIMPS-Projekt die 42. Mersenne-Primzahl entdeckt: M(25.964.951) hat 7.816.230 Stellen. Ebenfalls vom GIMPS-Projekt wird am 15. Dezember die 43. Mersenne-Primzahl entdeckt: M(30.402.457) hat 9.152.052 Stellen.
2006	Am 4. September vermeldet das GIMPS-Projekt die Entdeckung der 44. Mersenne-Primzahl M(32.582.657) mit 9.808.358 Stellen.
2008	Am 16. September werden vom GIMPS-Projekt die 45. und die 46. bekannte Mersenne-Primzahl veröffentlicht: M(37.156.667) (entdeckt am 6. September) mit 11.185.272 Stellen und M(43.112.609) (entdeckt am 23. August) mit 12.978.189 Stellen.
2009	Die 47. bekannte Mersenne-Primzahl M(42.643.801) wird vom GIMPS-Projekt am 12. April entdeckt und am 12. Juni veröffentlicht.
2013	Die 48. bekannte Mersenne-Primzahl M(57.885.161) wird vom GIMPS-Projekt am 25. Januar entdeckt.
2016	Die 49. bekannte Mersenne-Primzahl M(74.207.281) wird vom GIMPS-Projekt am 7. Januar entdeckt.[15]
2017	Die 50. bekannte Mersenne-Primzahl M(77.232.917) wird vom GIMPS-Projekt am 26. Dezember entdeckt.[16]
2018	Die 51. bekannte Mersenne-Primzahl M(82.589.933) wird vom GIMPS-Projekt am 7. Dezember entdeckt.[17]

Teilbarkeitseigenschaften der Mersenne-Zahlen

Im Lauf ihrer langen Geschichte sind viele Ergebnisse über Mersenne-Zahlen gefunden worden. Außer der schon erwähnten grundlegenden Teilbarkeitseigenschaft (teilt ${\displaystyle r}$ die Zahl ${\displaystyle n}$, so ist ${\displaystyle M_{r}}$ Teiler von ${\displaystyle M_{n}}$) gibt es z. B. folgende Ergebnisse:

• Ist ${\displaystyle n}$ eine gerade Zahl und ${\displaystyle n+1}$ prim, so ist ${\displaystyle n+1}$ ein Teiler von ${\displaystyle M_{n}}$, z. B. ${\displaystyle M_{10}=1023=3\cdot 11\cdot 31,M_{12}=4095=3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 13}$.

• Ist ${\displaystyle n}$ eine ungerade Primzahl und ${\displaystyle q}$ ein Primfaktor von M_n, so gilt ${\displaystyle q\equiv 1{\bmod {\ }}2n}$ und ${\displaystyle q\equiv \pm 1\ {\bmod {\ }}8}$. Beispiel: ${\displaystyle M_{11}=2047=23\cdot 89}$ und ${\displaystyle 23=2\cdot 11+1;89=4\cdot 2\cdot 11+1}$.

• Wenn ${\displaystyle p}$ eine Primzahl mit ${\displaystyle p\equiv 3\ mod\ 4}$ ist, dann gilt die folgende Äquivalenz: ${\displaystyle 2p+1}$ teilt die Mersenne-Zahl ${\displaystyle M_{p}}$ genau dann, wenn ${\displaystyle 2p+1}$ prim ist. Beispiel: ${\displaystyle 11}$ ist prim und lässt einen Rest von ${\displaystyle 3}$ bei Division durch ${\displaystyle 4}$. Da ${\displaystyle 23}$ (als Ergebnis von ${\displaystyle 2\cdot 11+1}$) prim ist, folgt: ${\displaystyle 23}$ teilt die Mersenne-Zahl ${\displaystyle M_{11}=2047}$. Diese Aussage wurde von Leonhard Euler formuliert, aber erst später von Joseph-Louis Lagrange bewiesen (siehe auch Sophie-Germain-Primzahl).

• Ist ${\displaystyle M_{p}>3}$ eine Primzahl, dann ist ${\displaystyle M_{p}+2}$ keine Primzahl (nämlich durch ${\displaystyle 3}$ teilbar). Mersenne-Primzahlen eignen sich also nicht als die kleinere Primzahl eines Primzahlzwillings.

• Ist ${\displaystyle n=2^{m}}$ mit ${\displaystyle m>0}$, so ist ${\displaystyle M_{n}}$ das Produkt der Fermat-Zahlen ${\displaystyle F_{0}}$ bis ${\displaystyle F_{m-1}}$. Beispiel: ${\displaystyle M_{16}=F_{0}\cdot F_{1}\cdot F_{2}\cdot F_{3}=3\cdot 5\cdot 17\cdot 257}$.

Die Suche nach Mersenne-Primzahlen

Für die Erzielung von Primzahl-Rekorden eignen sich Mersenne-Primzahlen in mehrfacher Hinsicht besonders gut, weil (a) zusammengesetzte Exponenten unberücksichtigt bleiben können, weil diese keine Primzahlen generieren, und deshalb eine Liste der Kandidaten für den Exponent ${\displaystyle p}$ leicht mit Primzahlgeneratoren erstellt werden kann^[18] (b) durch den funktionalen Zusammenhang die Größenordnung der Primzahl exponentiell – nämlich zur Basis zwei – mit dem Argument ${\displaystyle p}$ anwächst, man also schnell sehr große Zahlen erhält, (c) mit dem nachfolgend beschriebenen Lucas-Lehmer-Test ein einfacher und effektiver Primzahltest zur Verfügung steht.

Seit 1992 ist die größte bekannte Primzahl daher immer eine Mersenne-Primzahl gewesen.

Der Lucas-Lehmer-Test

Dieser Test ist ein speziell auf Mersenne-Zahlen zugeschnittener Primzahltest, der auf Arbeiten von Édouard Lucas aus der Zeit 1870–1876 beruht und im Jahr 1930 von Derrick Henry Lehmer ergänzt wurde.

Er funktioniert wie folgt:

Sei ${\displaystyle p}$ ungerade und prim. Die Folge ${\displaystyle (S_{k})_{k}}$ sei rekursiv definiert durch ${\displaystyle S_{1}=4}$ und ${\displaystyle S_{k+1}=S_{k}^{2}-2}$.

Dann gilt: ${\displaystyle M_{p}=2^{p}-1}$ ist genau dann eine Primzahl, wenn ${\displaystyle S_{p-1}}$ durch ${\displaystyle M_{p}}$ teilbar ist.

GIMPS: Die große Internet-Mersenne-Primzahl-Suche

Im Dezember 2018 waren 51 Mersenne-Primzahlen bekannt. Mit massivem Computereinsatz wird nach weiteren Mersenne-Primzahlen gesucht. Da es sich um sehr große Zahlen handelt, sind die Berechnungen aufwendig: Die 51. Mersenne-Primzahl hat mehr als 24 Millionen Ziffern^[19] im Dezimalsystem. Die Berechnung erfolgt durch Langzahlarithmetik.

GIMPS (engl.: Great Internet Mersenne Prime Search) versucht, weltweit möglichst viele Computer an den Berechnungen zu beteiligen. Die dafür nötige Software (Prime95) wurde von George Woltman und Scott Kurowski erstellt und ist für mehrere Computer-Plattformen (Windows, Linux …) verfügbar.

Liste aller bekannten Mersenne-Primzahlen

Nr.	p	Anzahl der Ziffern von M(p)	Jahr[20]	Entdecker[20]
1	2	1	–	–
2	3	1	–	–
3	5	2	–	–
4	7	3	–	–
5	13	4	1456	–
6	17	6	1555	Pietro Cataldi
7	19	6	1555	Pietro Cataldi
8	31	10	1772	Leonhard Euler
9	61	19	1883	Iwan Perwuschin
10	89	27	1911	Ralph E. Powers
11	107	33	1914	Powers
12	127	39	1876	Édouard Lucas
13	521	157	1952	Raphael M. Robinson
14	607	183	1952	Robinson
15	1279	386	1952	Robinson
16	2203	664	1952	Robinson
17	2281	687	1952	Robinson
18	3217	969	1957	Hans Riesel
19	4253	1281	1961	Alexander Hurwitz
20	4423	1332	1961	Hurwitz
21	9689	2917	1963	Donald B. Gillies
22	9941	2993	1963	Gillies
23	11.213	3376	1963	Gillies
24	19.937	6002	1971	Bryant Tuckerman
25	21.701	6533	1978	Landon Curt Noll, Laura Nickel
26	23.209	6987	1979	Noll
27	44.497	13.395	1979	David Slowinski, Harry L. Nelson
28	86.243	25.962	1982	Slowinski
29	110.503	33.265	1988	Walter Colquitt, Luther Welsh Jr.
30	132.049	39.751	1983	Slowinski
31	216.091	65.050	1985	Slowinski
32	756.839	227.832	1992	Slowinski, Paul Gage
33	859.433	258.716	1994	Slowinski, Paul Gage
34	1.257.787	378.632	1996	Slowinski, Paul Gage
35	1.398.269	420.921	1996	GIMPS / Joel Armengaud
36	2.976.221	895.932	1997	GIMPS / Gordon Spence
37	3.021.377	909.526	1998	GIMPS / Roland Clarkson
38	6.972.593	2.098.960	1999	GIMPS / Nayan Hajratwala
39	13.466.917	4.053.946	2001	GIMPS / Michael Cameron
40	20.996.011	6.320.430	2003	GIMPS / Michael Shafer
41	24.036.583	7.235.733	2004	GIMPS / Josh Findley
42	25.964.951	7.816.230	2005	GIMPS / Martin Nowak
43	30.402.457	9.152.052	2005	GIMPS / Curtis Cooper, Steven Boone
44	32.582.657	9.808.358	2006	GIMPS / Curtis Cooper, Steven Boone
45	37.156.667	11.185.272	2008	GIMPS / Hans-Michael Elvenich
46	42.643.801	12.837.064	2009	GIMPS / Odd M. Strindmo
47	43.112.609	12.978.189	2008	GIMPS / Edson Smith
48	57.885.161	17.425.170	2013	GIMPS / Curtis Cooper
49?	74.207.281	22.338.618	2016	GIMPS / Curtis Cooper[15]
50?	77.232.917	23.249.425	2017	GIMPS / Jonathan Pace[16]
51?	82.589.933	24.862.048	2018	GIMPS / Patrick Laroche[17]

Mit Stand 17. Juli 2023 ist nicht ausgeschlossen, dass es zwischen p = 57.885.161 und p = 82.589.933 noch weitere, bisher unentdeckte Mersenne-Primzahlen gibt; deshalb ist die Nummerierung ab Nr. 49 noch ungewiss (und mit einem „?“ versehen).

Offene Fragen

Wie so oft in der Zahlentheorie gibt es auch zu Mersenne-Zahlen ungelöste Probleme, die sehr einfach zu formulieren sind:

• Gibt es unendlich viele Mersenne-Primzahlen? Man vermutet aufgrund plausibler Heuristiken, dass es etwa ${\displaystyle c\cdot \ln(x)}$ viele Mersenne-Primzahlen ${\displaystyle M_{p}}$ gibt mit ${\displaystyle p<x}$ (für eine positive Konstante ${\displaystyle c}$). Sollte das zutreffen, so gäbe es tatsächlich unendlich viele Mersenne-Primzahlen.

• Genauer: Ist die Vermutung, die H. W. Lenstra und C. Pomerance unabhängig voneinander aufstellten, richtig, dass es asymptotisch ${\displaystyle e^{\gamma }\log _{2}(\log _{2}(x))+O(1)}$ viele Mersenne-Primzahlen gibt, die kleiner oder gleich ${\displaystyle x}$ sind?^[21]
• Umgekehrt: gibt es unendlich viele Mersenne-Zahlen ${\displaystyle M_{p}}$ mit ${\displaystyle p}$ prim, die keine Primzahlen sind? Auch hier vermutet man als Antwort ja. Dies würde zum Beispiel aus der Vermutung, dass es unendlich viele Sophie-Germain-Primzahlen gibt, die kongruent 3 modulo 4 sind, folgen.
• Sind alle Mersenne-Zahlen ${\displaystyle M_{p}}$ mit ${\displaystyle p}$ prim quadratfrei, d. h. kommt in der Primfaktorzerlegung der Zahl jeder Primfaktor genau einmal vor? Man konnte bisher noch nicht einmal beweisen, dass dies für unendlich viele Mersenne-Zahlen gilt.
• Gilt die „neue Mersenne-Vermutung“? Die Folge von Mersenne-Primzahlen, die Mersenne angab, lässt vermuten, dass er meinte, dass eine Mersenne-Zahl ${\displaystyle M_{p}}$ mit ${\displaystyle p}$ prim genau dann prim ist, wenn ${\displaystyle p=2^{k}\pm 1}$ oder ${\displaystyle p=4^{k}\pm 3}$. Da diese Aussage nicht gilt, stellten P. Bateman, J. Selfridge und S. Wagstaff die neue Mersenne-Vermutung auf.

  Diese besagt, dass aus zwei der folgenden drei Aussagen bereits die dritte folgt:

  1. ${\displaystyle n=2^{k}\pm 1}$ oder ${\displaystyle n=4^{k}\pm 3}$,
  2. ${\displaystyle 2^{n}-1}$ ist eine (Mersenne) Primzahl,
  3. ${\displaystyle (2^{n}+1)/3}$ ist eine Primzahl (man nennt sie Wagstaff-Primzahl).

• Sind alle Glieder der Folge ${\displaystyle C(0)=2,C(k+1)=2^{C(k)}-1}$ Primzahlen? Die stärkere Vermutung, dass alle Zahlen ${\displaystyle M_{M_{p}}}$ Primzahlen sind, für die ${\displaystyle M_{p}}$ eine Primzahl ist, konnte 1957 durch Raphael Robinson widerlegt werden. (z. B. ist ${\displaystyle M_{M_{13}}=M_{8191}}$ nicht prim) Diese letzteren Zahlen nennt man doppelte Mersenne-Zahlen (OEIS, A077585). Bisher sind doppelte Mersenne-Primzahlen nur für ${\displaystyle p=2,3,5,7}$ bekannt (OEIS, A077586); für ${\displaystyle p=13,17,19}$ und ${\displaystyle 31}$ wurden kleine Faktoren gefunden.^[22] Ob es weitere oder sogar unendlich viele doppelte Mersenne-Primzahlen gibt, bleibt unbekannt.

Mersenne–Fermat-Primzahlen

Eine Mersenne–Fermat-Zahl hat die Form ${\displaystyle MF(p,r)={\tfrac {2^{p^{r}}-1}{2^{p^{r-1}}-1}}}$, wobei ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$ eine Primzahl und ${\displaystyle r\in \mathbb {N} }$ eine natürliche Zahl ist. Ist die Mersenne–Fermat-Zahl eine Primzahl, so nennt man sie Mersenne–Fermat-Primzahl.

Beispiele

• Sei ${\displaystyle r=1}$.

  Dann erhält man Mersenne–Fermat-Zahlen der Form ${\displaystyle MF(p,1)={\frac {2^{p^{1}}-1}{2^{p^{1-1}}-1}}={\frac {2^{p}-1}{2^{p^{0}}-1}}={\frac {2^{p}-1}{2^{1}-1}}={\frac {2^{p}-1}{1}}=2^{p}-1}$. Diese Zahlen sind die Mersenne-Zahlen ${\displaystyle M_{p}}$.

• Sei ${\displaystyle p=2}$.

  Dann erhält man Mersenne–Fermat-Zahlen der Form ${\displaystyle MF(2,r)={\frac {2^{2^{r}}-1}{2^{2^{r-1}}-1}}={\frac {(2^{2^{r-1}}-1)\cdot (2^{2^{r-1}}+1)}{2^{2^{r-1}}-1}}=2^{2^{r-1}}+1}$. Diese Zahlen sind die Fermat-Zahlen ${\displaystyle F_{r-1}}$.

• Die einzigen momentan bekannten Mersenne–Fermat-Primzahlen mit ${\displaystyle r>1}$ sind die folgenden acht:^[23]

  ${\displaystyle {\begin{array}{lclclclcl}MF(2,2)&=&\displaystyle {\frac {2^{2^{2}}-1}{2^{2^{1}}-1}}&=&\displaystyle {\frac {2^{4}-1}{2^{2}-1}}&=&\displaystyle {\frac {15}{3}}&=&5\\MF(2,3)&=&\displaystyle {\frac {2^{2^{3}}-1}{2^{2^{2}}-1}}&=&\displaystyle {\frac {2^{8}-1}{2^{4}-1}}&=&\displaystyle {\frac {255}{15}}&=&17\\MF(2,4)&=&\displaystyle {\frac {2^{2^{4}}-1}{2^{2^{3}}-1}}&=&\displaystyle {\frac {2^{16}-1}{2^{8}-1}}&=&\displaystyle {\frac {65535}{255}}&=&257\\MF(2,5)&=&\displaystyle {\frac {2^{2^{5}}-1}{2^{2^{4}}-1}}&=&\displaystyle {\frac {2^{32}-1}{2^{16}-1}}&=&\displaystyle {\frac {4294967295}{65535}}&=&65537\\MF(3,2)&=&\displaystyle {\frac {2^{3^{2}}-1}{2^{3^{1}}-1}}&=&\displaystyle {\frac {2^{9}-1}{2^{3}-1}}&=&\displaystyle {\frac {511}{7}}&=&73\\MF(3,3)&=&\displaystyle {\frac {2^{3^{3}}-1}{2^{3^{2}}-1}}&=&\displaystyle {\frac {2^{27}-1}{2^{9}-1}}&=&\displaystyle {\frac {134217727}{511}}&=&262657\\MF(7,2)&=&\displaystyle {\frac {2^{7^{2}}-1}{2^{7^{1}}-1}}&=&\displaystyle {\frac {2^{49}-1}{2^{7}-1}}&=&\displaystyle {\frac {562949953421311}{127}}&=&4432676798593\\MF(59,2)&=&\displaystyle {\frac {2^{59^{2}}-1}{2^{59^{1}}-1}}&=&\displaystyle {\frac {2^{3481}-1}{2^{59}-1}}\end{array}}}$

  Die momentan größte bekannte Mersenne–Fermat-Primzahl ${\displaystyle MF(59,2)={\frac {2^{3481}-1}{2^{59}-1}}}$ hat 1031 Stellen.

Eigenschaften von Mersenne–Fermat-Primzahlen

• Es gelten folgende Eigenschaften:^[23]
  • ${\displaystyle MF(p,r)=\Phi _{p^{r}}(2)}$, wobei ${\displaystyle \Phi _{p^{r}}}$ das ${\displaystyle p^{r}}$-te Kreisteilungspolynom ist.
  • Je zwei verschiedene Mersenne–Fermat-Primzahlen sind paarweise zueinander prim. Das heißt

    ${\displaystyle ggT(MF(p,r),MF(p,s))=1}$ für ${\displaystyle r\not =s}$

    ${\displaystyle ggT(MF(p,r),MF(q,s))=1}$ für ${\displaystyle p\not =q}$

Verallgemeinerung von Mersenne-Zahlen

Sei ${\displaystyle f(x):=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{1}x+a_{0}}$ ein Polynom, bei dem der höchste Exponent ${\displaystyle n}$ niedrig sein soll (der sogenannte Grad des Polynoms). Auch die ganzzahligen Koeffizienten ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n-1}}$ sollen nicht allzu hoch sein. Dann ist ${\displaystyle f(2^{m})}$ eine verallgemeinerte Mersenne-Zahl. Ist sie prim, so heißt sie verallgemeinerte Mersenne-Primzahl.^[24]

Mit anderen Worten: eine verallgemeinerte Mersenne-Zahl hat die Form^[25]

${\displaystyle 2^{k}+a_{n-1}2^{k-1}+\dotsb +a_{1}2^{1}+a_{0}}$

Beispiele

• Sei ${\displaystyle f(x)=x-1}$ ein Polynom 1. Grades und ${\displaystyle m=5}$.

  Dann ist ${\displaystyle f(2^{m})=2^{m}-1}$ und somit gilt:

  ${\displaystyle f(2^{5})=2^{5}-1=32-1=31}$

  Diese Zahl ${\displaystyle f(2^{5})=2^{5}-1=31}$ ist eine Primzahl und somit eine verallgemeinerte Mersenne-Primzahl. Mit diesem Polynom ${\displaystyle f(x)=x-1}$ erhält man alle Mersenne-Primzahlen.

• Sei ${\displaystyle f(x)=x+1}$ ein Polynom 1. Grades und ${\displaystyle m=3}$.

  Dann ist ${\displaystyle f(2^{m})=2^{m}+1}$ und somit gilt:

  ${\displaystyle f(2^{3})=2^{3}+1=8+1=9}$

  Diese Zahl ${\displaystyle f(2^{3})=9=3\cdot 3}$ ist keine Primzahl und somit zwar eine verallgemeinerte Mersenne-Zahl, aber keine verallgemeinerte Mersenne-Primzahl. Mit diesem Polynom ${\displaystyle f(x)=x+1}$ erhält man unter anderem alle Fermat-Zahlen.

• Sei ${\displaystyle f(x)=x^{2}+5x+1}$ ein Polynom 2. Grades und ${\displaystyle m=3}$.

  Dann ist ${\displaystyle f(2^{m})=(2^{m})^{2}+5\cdot 2^{m}+1}$ und somit gilt:

  ${\displaystyle f(2^{3})=(2^{3})^{2}+5\cdot 2^{3}+1=2^{6}+5\cdot 2^{3}+1=64+40+1=105}$

  Diese Zahl ${\displaystyle f(2^{3})=105}$ ist keine Primzahl und somit keine verallgemeinerte Mersenne-Primzahl, sondern nur eine verallgemeinerte Mersenne-Zahl.

• Sei ${\displaystyle f(x)=x^{2}-x+1}$ ein Polynom 2. Grades und ${\displaystyle m=32}$.

  Dann ist ${\displaystyle f(2^{m})=(2^{m})^{2}-2^{m}+1}$ und somit gilt:

  ${\displaystyle f(2^{32})=(2^{32})^{2}-2^{32}+1=2^{64}-2^{32}+1=18446744069414584321}$

  Diese Zahl ${\displaystyle f(2^{32})}$ ist eine Primzahl und somit eine verallgemeinerte Mersenne-Primzahl.

• Sei ${\displaystyle f(x)=x^{3}-x-1}$ ein Polynom 3. Grades und ${\displaystyle m=64}$.

  Dann ist ${\displaystyle f(2^{m})=(2^{m})^{3}-2^{m}-1}$ und somit gilt:^[25]

  ${\displaystyle f(2^{64})=(2^{64})^{3}-2^{64}-1=2^{192}-2^{64}-1=6277101735386680763835789423207666416083908700390324961279}$

  Diese Zahl ${\displaystyle f(2^{64})}$ ist ebenfalls eine Primzahl und somit eine verallgemeinerte Mersenne-Primzahl.

Eine weitere Verallgemeinerung von Mersenne-Zahlen

Mersenne-Zahlen haben die Form ${\displaystyle M_{n}=2^{n}-1}$. Man kann sie verallgemeinern, indem man Zahlen der Form ${\displaystyle b^{n}-1}$ mit ganzzahligen ${\displaystyle b\in \mathbb {Z} }$ betrachtet. Allerdings sind Zahlen der Form ${\displaystyle b^{n}-1}$ immer durch ${\displaystyle b-1}$ teilbar (siehe Faktorisierungen von Potenzsummen) und somit erhält man nie Primzahlen der Form ${\displaystyle b^{n}-1}$ mit ${\displaystyle b\not =2}$ und ${\displaystyle n>1}$.

Wenn man aber die Zahl ${\displaystyle b^{n}-1}$ mit dem Faktor ${\displaystyle b-1}$ dividiert, so erhält man die Zahl ${\displaystyle {\frac {b^{n}-1}{b-1}}}$. Diese Zahl kann sowohl prim als auch nicht prim sein. Interessant ist der Fall, wann ${\displaystyle {\frac {b^{n}-1}{b-1}}}$ prim ist.

Beispiele

• Sei ${\displaystyle b=10}$. Dann ist ${\displaystyle {\frac {b^{n}-1}{b-1}}={\frac {10^{n}-1}{10-1}}={\frac {10^{n}-1}{9}}}$ prim für folgende ${\displaystyle n}$:

  2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, 109297, 270343, … (Folge A004023 in OEIS)

Damit erhält man die folgenden Primzahlen:

11, 1111111111111111111, 11111111111111111111111, … (Folge A004022 in OEIS)

Diese Zahlen nennt man Repunits.

• Sei ${\displaystyle b=-12}$. Dann ist ${\displaystyle {\frac {b^{n}-1}{b-1}}={\frac {(-12)^{n}-1}{-12-1}}={\frac {(-12)^{n}-1}{-13}}}$ prim für folgende ${\displaystyle n}$:

  (2), 5, 11, 109, 193, 1483, 11353, 21419, 21911, 24071, 106859, 139739, 495953, … (Folge A057178 in OEIS)

Damit erhält man die folgenden Primzahlen, wobei man den ersten Wert dazuzählen kann oder auch nicht:

(-11), 19141, 57154490053, …

Die drei Zahlen, die man aus ${\displaystyle n\in \{106859,139739,495953\}}$ erhält, sind momentan noch nicht eindeutig als Primzahlen interpretiert worden. Sie sind sogenannte PRP-Zahlen (probable prime).^[26]

• Die kleinsten ${\displaystyle n}$, sodass ${\displaystyle {\frac {b^{n}-1}{b-1}}}$ eine Primzahl ist, sind die folgenden (mit aufsteigendem ${\displaystyle b=2,3,4,\ldots }$; es wird ${\displaystyle 0}$ angegeben, falls es kein ${\displaystyle n}$ gibt):

  2, 3, 2, 3, 2, 5, 3, 0, 2, 17, 2, 5, 3, 3, 2, 3, 2, 19, 3, 3, 2, 5, 3, 0, 7, 3, 2, 5, 2, 7, 0, 3, 13, 313, 2, 13, 3, 349, 2, 3, 2, 5, 5, 19, 2, 127, 19, 0, 3, 4229, 2, 11, 3, 17, 7, 3, 2, 3, 2, 7, 3, 5, 0, 19, 2, 19, 5, 3, 2, 3, 2, … (Folge A084740 in OEIS)

Beispiel:

In der obigen Liste steht an der 12. Stelle der Wert 5. Weil man mit 2 zu zählen beginnen muss, ist es der zu ${\displaystyle b=13}$ gehörende Wert. Somit ist ${\displaystyle {\frac {b^{n}-1}{b-1}}={\frac {13^{5}-1}{13-1}}={\frac {371293-1}{12}}=30941}$ die kleinste Primzahl, die man mit ${\displaystyle {\frac {13^{n}-1}{12}}}$ erhalten kann.

• Die kleinsten ${\displaystyle n}$, sodass ${\displaystyle {\frac {b^{n}-1}{b-1}}}$ eine Primzahl ist, sind die folgenden (mit absteigendem ${\displaystyle b=-2,-3,-4,\ldots }$; es wird ${\displaystyle 0}$ angegeben, falls es kein ${\displaystyle n}$ gibt):

  3, 2, 2, 5, 2, 3, 2, 3, 5, 5, 2, 3, 2, 3, 3, 7, 2, 17, 2, 3, 3, 11, 2, 3, 11, 0, 3, 7, 2, 109, 2, 5, 3, 11, 31, 5, 2, 3, 53, 17, 2, 5, 2, 103, 7, 5, 2, 7, 1153, 3, 7, 21943, 2, 3, 37, 53, 3, 17, 2, 7, 2, 3, 0, 19, 7, 3, 2, 11, 3, 5, 2, …

In der OEIS-Liste ist der Wert ${\displaystyle n=2}$ nicht erlaubt, weil man damit nur negative Primzahlen erhält. Deswegen unterscheidet sich diese obige Liste von der OEIS-Liste. Die exakte OEIS-Liste lautet wie folgt:

3, 3, 3, 5, 3, 3, 0, 3, 5, 5, 5, 3, 7, 3, 3, 7, 3, 17, 5, 3, 3, 11, 7, 3, 11, 0, 3, 7, 139, 109, 0, 5, 3, 11, 31, 5, 5, 3, 53, 17, 3, 5, 7, 103, 7, 5, 5, 7, 1153, 3, 7, 21943, 7, 3, 37, 53, 3, 17, 3, 7, 11, 3, 0, 19, 7, 3, 757, 11, 3, 5, 3, … (Folge A084742 in OEIS)

Beispiele:

• In der obigen ersten Liste steht an der 12. Stelle der Wert 3. Weil man mit −2 zu zählen beginnen muss, ist es der zu ${\displaystyle b=-13}$ gehörende Wert. Somit ist ${\displaystyle {\frac {b^{n}-1}{b-1}}={\frac {(-13)^{3}-1}{-13-1}}={\frac {-2197-1}{-14}}=157}$ die kleinste Primzahl, die man mit ${\displaystyle {\frac {(-13)^{n}-1}{-14}}}$ erhalten kann.
• In der obigen ersten Liste steht an der 5. Stelle der Wert 2. Weil man mit −2 zu zählen beginnen muss, ist es der zu ${\displaystyle b=-6}$ gehörende Wert. Somit ist ${\displaystyle {\frac {b^{n}-1}{b-1}}={\frac {(-6)^{2}-1}{-6-1}}={\frac {36-1}{-7}}=-5}$ die kleinste Primzahl, die man mit ${\displaystyle {\frac {(-6)^{n}-1}{-7}}}$ erhalten kann. Da dieser Wert negativ ist, steht bei der OEIS-Liste an der 5. Stelle (der zu ${\displaystyle b=-6}$ gehörende Wert) der Wert 3. Dann erhält man ${\displaystyle {\frac {b^{n}-1}{b-1}}={\frac {(-6)^{3}-1}{-6-1}}={\frac {-216-1}{-7}}=31}$ die kleinste positive Primzahl, die man mit ${\displaystyle {\frac {(-6)^{n}-1}{-7}}}$ erhalten kann.
• In der obigen ersten Liste steht an der 31. Stelle der Wert 2. Weil man mit −2 zu zählen beginnen muss, ist es der zu ${\displaystyle b=-32}$ gehörende Wert. Somit ist ${\displaystyle {\frac {b^{n}-1}{b-1}}={\frac {(-32)^{2}-1}{-32-1}}={\frac {1024-1}{-33}}=-31}$ die kleinste Primzahl, die man mit ${\displaystyle {\frac {(-32)^{n}-1}{-33}}}$ erhalten kann. Da dieser Wert negativ ist, steht bei der OEIS-Liste an der 31. Stelle (der zu ${\displaystyle b=-32}$ gehörende Wert) der Wert 0. Dies bedeutet, dass man mit ${\displaystyle {\frac {b^{n}-1}{b-1}}={\frac {(-32)^{n}-1}{-33}}}$ keine positive Primzahl erhalten kann.

• Sei ${\displaystyle Prim(n)}$ die n-te Primzahl. Die kleinsten ${\displaystyle b}$, sodass ${\displaystyle {\frac {b^{Prim(n)}-1}{b-1}}}$ eine Primzahl ist, sind die folgenden (mit aufsteigendem ${\displaystyle n=1,2,3,\ldots }$):

  2, 2, 2, 2, 5, 2, 2, 2, 10, 6, 2, 61, 14, 15, 5, 24, 19, 2, 46, 3, 11, 22, 41, 2, 12, 22, 3, 2, 12, 86, 2, 7, 13, 11, 5, 29, 56, 30, 44, 60, 304, 5, 74, 118, 33, 156, 46, 183, 72, 606, 602, 223, 115, 37, 52, 104, 41, 6, 338, 217, … (Folge A066180 in OEIS)

Beispiel:

In der obigen Liste steht an der 5. Stelle der Wert ${\displaystyle b=5}$. Die 5. Primzahl ist ${\displaystyle p=11}$. Somit ist ${\displaystyle {\frac {b^{Prim(n)}-1}{b-1}}={\frac {5^{11}-1}{5-1}}={\frac {48828125-1}{4}}=12207031}$ die kleinste Primzahl, die man mit ${\displaystyle {\frac {b^{11}-1}{b-1}}}$ erhalten kann.

• Sei ${\displaystyle Prim(n)}$ die n-te Primzahl. Die betragsmäßig kleinsten negativen ${\displaystyle b}$, sodass ${\displaystyle {\frac {b^{Prim(n)}-1}{b-1}}}$ eine Primzahl ist, sind die folgenden (mit aufsteigendem ${\displaystyle n=1,2,3,\ldots }$):

  3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 7, 2, 16, 61, 2, 6, 10, 6, 2, 5, 46, 18, 2, 49, 16, 70, 2, 5, 6, 12, 92, 2, 48, 89, 30, 16, 147, 19, 19, 2, 16, 11, 289, 2, 12, 52, 2, 66, 9, 22, 5, 489, 69, 137, 16, 36, 96, 76, 117, 26, 3, … (Folge A103795 in OEIS)

Beispiel:

In der obigen Liste steht an der 5. Stelle der Wert ${\displaystyle b=2}$. Die 5. Primzahl ist ${\displaystyle p=11}$. Somit ist ${\displaystyle {\frac {b^{Prim(n)}-1}{b-1}}={\frac {(-2)^{11}-1}{-2-1}}={\frac {-2048-1}{-3}}=683}$ die kleinste Primzahl, die man mit ${\displaystyle {\frac {b^{11}-1}{b-1}}}$, ${\displaystyle b\in \mathbb {Z} ^{-}}$ erhalten kann.

Vermutung

Es wird vermutet, dass für jedes ${\displaystyle b}$, welches keine Potenz einer natürlichen Zahl ist, unendlich viele ${\displaystyle n}$ existieren, sodass ${\displaystyle {\tfrac {b^{n}-1}{b-1}}}$ eine Primzahl ist.

(Ist ${\displaystyle b}$ eine Potenz einer natürlichen Zahl, so kann gezeigt werden, dass es höchstens ein ${\displaystyle n}$ gibt, sodass ${\displaystyle {\tfrac {b^{n}-1}{b-1}}}$ eine Primzahl ist.)

Noch eine Verallgemeinerung von Mersenne-Zahlen

Man kann Mersenne-Zahlen auch insofern verallgemeinern, als dass man Zahlen der Form ${\displaystyle {\tfrac {a^{n}-b^{n}}{a-b}}}$ betrachtet, wobei ${\displaystyle a,b}$ teilerfremd, ${\displaystyle a>1}$ und ${\displaystyle -a<b<a}$ sein muss. Die Division durch die Zahl ${\displaystyle a-b}$ ist notwendig, weil diese Zahl immer Teiler von ${\displaystyle a^{n}-b^{n}}$ ist und man nur nach dieser Division Primzahlen erhalten kann.

Verallgemeinerte Mersenne-Zahlen der Form ${\displaystyle {\tfrac {a^{n}-b^{n}}{a-b}}}$ sind gleichzeitig die Zahlen der allgemeinen Lucas-Folge ${\displaystyle U_{n}(a+b,ab)}$, wobei ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ die Nullstellen der quadratischen Gleichung ${\displaystyle x^{2}-(a-b)x+ab=0}$ sind (siehe explizite Formeln).

Eigenschaften

• Sei ${\displaystyle {\frac {a^{n}-b^{n}}{a-b}}}$ eine Primzahl. Dann gilt:

  • ${\displaystyle n}$ ist eine Primzahl oder ${\displaystyle n=4}$
  • ${\displaystyle n=4}$ genau dann, wenn ${\displaystyle a+b=1}$ und ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$ ist eine Primzahl

Beweis der zweiten Behauptung:

Sei ${\displaystyle {\frac {a^{4}-b^{4}}{a-b}}}$ eine Primzahl (sei also ${\displaystyle n=4}$). Weil ${\displaystyle {\frac {a^{4}-b^{4}}{a-b}}=a^{3}+a^{2}b+ab^{2}+b^{3}=(a+b)\cdot (a^{2}+b^{2})}$ eine Primzahl ist, muss einer der beiden Faktoren ${\displaystyle 1}$ sein, somit ist ${\displaystyle (a,b)=(k+1,-k)}$ und ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=(k+1)^{2}+k^{2}}$ muss eine Primzahl sein. Die kleinsten ${\displaystyle k}$ dieser Form lauten:

1, 2, 4, 5, 7, 9, 12, 14, 17, 19, 22, 24, 25, 29, 30, 32, 34, 35, 39, 42, 47, 50, 60, 65, 69, 70, 72, 79, 82, 84, 85, 87, 90, 97, 99, 100, … (Folge A027861 in OEIS)

${\displaystyle \Box }$

Beispiele

Die folgende Tabelle gibt die kleinsten ${\displaystyle n}$ an, für welche ${\displaystyle {\tfrac {a^{n}-b^{n}}{a-b}}}$ bei gegebenem ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ prim ist.^{[27][28][29][30][31][32][33]}

Bei besonders großen Zahlen ist es noch nicht gesichert, ob es sich um wirkliche Primzahlen handelt, oder ob es nur sehr wahrscheinliche Primzahlen, so genannte PRP-Zahlen (probably primes) sind. Diese Zahlen werden in Klammern gesetzt.^[34][35]

Reihenentwicklungen

Produktreihen

Wenn die Mersenne-Zahlen durch ihre nachfolgenden Zweierpotenzen geteilt werden und diese so entstehenden Brüche bis in den unendlichen Index miteinander multipliziert werden, dann entsteht ein fester Wert, welcher sich mit Hilfe elliptischer Funktionen ausdrücken lässt. Bei diesem Produkt liegt Konvergenz vor:

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\frac {M_{n}}{2^{n}}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{n}-1}{2^{n}}}=2^{-1/8}\,\vartheta _{01}{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\bigr )}^{2/3}\,\vartheta _{00}{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\bigr )}^{1/6}\,\vartheta _{10}{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\bigr )}^{1/6}=}$

${\displaystyle =2^{-1/8}\,\vartheta _{01}{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\bigr )}^{2/3}\,\vartheta _{00}{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\bigr )}^{1/6}\,{\bigl [}\vartheta _{00}{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\bigr )}^{4}-\vartheta _{01}{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\bigr )}^{4}{\bigr ]}^{1/24}=}$

${\displaystyle =0{,}288788221165707410183325547539553991864476\ldots }$

Denn es gilt gründsätzlich für alle Werte x die folgende^[36][37][38] elliptische Beziehungsgleichung:

${\displaystyle (x;x)_{\infty }=\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{n})=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl [}-x^{{\text{Fn}}(2n-1)}-x^{{\text{Kr}}(2n-1)}+x^{{\text{Fn}}(2n)}+x^{{\text{Kr}}(2n)}{\bigr ]}=}$${\displaystyle =\left[\sum _{k=0}^{\infty }P(k)x^{k}\right]^{-1}=\vartheta _{00}(x)^{1/6}\vartheta _{01}(x)^{2/3}\left[{\frac {\vartheta _{00}(x)^{4}-\vartheta _{01}(x)^{4}}{16\,x}}\right]^{1/24}}$

Das Produkt am linken Rand dieser Gleichungskette wird Pochhammer-Produkt genannt.

Die zuerst gezeigte Summe in dieser Gleichungskette zeigt den Pentagonalzahlensatz mit den Fünfeckszahlen und den Kartenhauszahlen in den Exponenten^[39] der x-Potenzen. Diese Fünfeckszahlen und Kartenhauszahlen haben bezüglich des Index z genau diese Beziehungen:

${\displaystyle {\text{Fn}}(z)={\tfrac {1}{2}}z(3z-1)}$

${\displaystyle {\text{Kr}}(z)={\tfrac {1}{2}}z(3z+1)}$

Die Zahlenfolge ${\displaystyle P(k)}$ ist die reguläre Partitionszahlenfolge. Diese Folge gibt die Anzahl der Partitionen insgesamt bei gegebenen Summen ${\displaystyle k}$ an, also die Anzahl der Weisen, wie man eine Zahl ${\displaystyle k}$ in Summanden ungeachtet der Reihenfolge der Summanden aufspalten kann.

Mit dem Kürzel ${\displaystyle \vartheta }$ wird die Gruppe der Jacobischen Thetafunktionen zum Ausdruck gebracht.

Die sogenannten Theta-Nullwert-Funktionen sind wie folgt definiert:

${\displaystyle \vartheta _{00}(x)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x^{k^{2}}=\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{2n})(1+x^{2n-1})^{2}}$

${\displaystyle \vartheta _{01}(x)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }(-1)^{k}x^{k^{2}}=\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{2n})(1-x^{2n-1})^{2}}$

${\displaystyle \vartheta _{10}(x)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x^{(k+{\frac {1}{2}})^{2}}=2x^{1/4}\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{2n})(1+x^{2n})^{2}}$

Die hier dargestellten Summendefinitionen stimmen mit den ebenso hier dargestellten Produktdefinitionen überein.

Diese drei Funktionen stellen die Zusammenhänge zwischen dem elliptischen Nomen^[40] und dem vollständigen elliptischen Integral erster Art her:

${\displaystyle \vartheta _{00}[q(\varepsilon )]={\sqrt {2\pi ^{-1}K(\varepsilon )}}}$

${\displaystyle \vartheta _{01}[q(\varepsilon )]={\sqrt[{4}]{1-\varepsilon ^{2}}}\,{\sqrt {2\pi ^{-1}K(\varepsilon )}}}$

${\displaystyle \vartheta _{10}[q(\varepsilon )]={\sqrt {|\varepsilon |}}\,{\sqrt {2\pi ^{-1}K(\varepsilon )}}}$

${\displaystyle q(\varepsilon )=\exp {\bigl [}-\pi \,K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}\,)\div K(\varepsilon ){\bigr ]}}$

Eine weitere Produktreihe über die Mersenne-Zahlen lässt sich auf folgende Weise formulieren:

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\frac {M_{2n}}{2^{n}M_{n}}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{n}+1}{2^{n}}}={\frac {2^{1/24}\,\vartheta _{01}({\tfrac {1}{4}})^{2/3}\,\vartheta _{00}({\tfrac {1}{4}})^{1/6}\,\vartheta _{10}({\tfrac {1}{4}})^{1/6}}{\vartheta _{01}({\tfrac {1}{2}})^{2/3}\,\vartheta _{00}({\tfrac {1}{2}})^{1/6}\,\vartheta _{10}({\tfrac {1}{2}})^{1/6}}}=}$

${\displaystyle =2{,}3842310290313717241498992886783972387716195165\ldots }$

Hierbei wurde der Quotient ${\displaystyle ({\tfrac {1}{4}};{\tfrac {1}{4}})_{\infty }\div ({\tfrac {1}{2}};{\tfrac {1}{2}})_{\infty }}$ gebildet.

Summenreihen

Die unendliche Summe der Kehrwerte der Mersenne-Zahlen wird Erdős-Borwein-Konstante genannt.

Sie hat zu der Lambertschen L-Funktion folgende Beziehung:

${\displaystyle E=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{M_{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}-1}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{n}+1}{2^{n^{2}}\left(2^{n}-1\right)}}=L{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\bigr )}}$

Und die Lambertsche L-Funktion hat diese Definition:

${\displaystyle L(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{1-x^{n}}}}$

Literatur

• Paulo Ribenboim: The new book of prime number records. 3rd edition. Springer, New York NY u. a. 1996, ISBN 0-387-94457-5 (Deutsch: Die Welt der Primzahlen. Geheimnisse und Rekorde. Auf den neuesten Stand gebracht von Wilfrid Keller. 2. vollständig überarbeitete und aktualisierte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2011, ISBN 978-3-642-18078-1 (Springer-Lehrbuch)).
• Wie eine neue Mersenne-Primzahl entdeckt wurde. In: taz, 11. März 2005; dpa-Hintergrundbericht

Weblinks

• Prime Mersenne Numbers – History, Theorems and Lists (englisch)
• Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) und Aktueller Stand von GIMPS
• Steffen Haugks deutscher GIMPS-Blog in UK
• Mersenne Primzahlen Bibliografie mit Links auf die Original-Veröffentlichungen (englisch)
• Eric W. Weisstein: Mersenne-Primzahlen. In: MathWorld (englisch).
• mprint5 – schnelle Berechnung der Mersenne-Primzahlen durch den Finnen Mikko Tommila
• Wiki über Mersenne-Primzahlen und deren Suche (englisch)

Einzelnachweise

1. ↑ Marin Mersenne: Cogitata Physico-Mathematica. In quibus tam naturae quàm artis effectus admirandi certissimis demonstrationibus explicantur. Paris: Bertier, 1644, Praefatio generalis, Nr. XIX.
2. ↑ Jochen Ziegenbalg: Elementare Zahlentheorie. Beispiele, Geschichten, Algorithmen. 2. Auflage. Springer, Wiesbaden 2015, ISBN 978-3-658-07170-7, S. 74. 
3. ↑ Hudalrichus Regius: Vtrivsque Arithmetices epitome ex uarijs authoribus concinnata. Straßburg: Bartholomäus Grüninger, 1536, S. VIIIv-IXv, Kap. 6 (De perfecto [Über die vollkommenen Zahlen]).
4. ↑ Johann Scheubel: Das sibend, acht vnd neunt buch, des hochberümbten Mathematici Euclidis Megarensis, in welchen der operationen vnnd regulen aller gemainer rechnung, vrsach grund vnd fundament, angezaigt wirt, zu gefallen allen den, so die kunst der Rechnung liebhaben […] auß dem latein ins teütsch gebracht, vnnd mit gemainen exemplen also illustrirt vnnd an tag geben, das sy ein yeder gemainer Rechner leichtlich verstehn, vnnd ime nutz machen kan. Valentin Ottmar, Augsburg 1555, S. CCXXXI-CXXXIIII (Euklid IX, 36), hier S. CCXXXIII.
5. ↑ Ralph Ernest Powers: The Tenth Perfect Number. In: American Mathematical Monthly, 18, 1911, Nr. 11, S. 195–197.
6. ↑ Ralph Ernest Powers: A Mersenne prime. (PDF; 89 kB) In: Bulletin of the American Mathematical Society, 20, 1914, S. 531. Ralph Ernest Powers: Certain composite Mersenne’s numbers. In: Proceedings of the London Mathematical Society, 15, 1916, Nr. 2, S. xxii; E. Fauquembergue: Nombres de Mersenne. In: Sphinx-Œdipe, 9, 1914, S. 103–105; 15, 1920, S. 17–18. Chris K. Caldwell: M₁₀₇: Fauquembergue or Powers?
7. ↑ Derrick Henry Lehmer: Note on Mersenne Numbers. (PDF; 145 kB) In: Bulletin of the American Mathematical Society, 38, 1932, S. 383–384.
8. ↑ pentagon.kappamuepsilon.org (Memento vom 22. Oktober 2015 im Internet Archive) (PDF)
9. ↑ Ralph Ernest Powers: Note on a Mersenne Number. (PDF; 69 kB) In: Bulletin of the American Mathematical Society, 40, 1934, S. 883.
10. ↑ Horace S. Uhler: A New Result Concerning a Mersenne Number. In: Mathematical Tables and other Aids to Computation 1 (1944), S. 333, 404. Vgl. Charles B. Barker: Proof that the Mersenne Number M167 is Composite. (PDF; 70 kB) In: Bulletin of the American Mathematical Society, 51, 1945, S. 389. H. S. Uhler: Note on the Mersenne Numbers M157 and M167. (PDF; 107 kB) In: Bulletin of the American Mathematical Society, 52, 1946, S. 178.
11. ↑ Horace S. Uhler: A New Result Concerning a Mersenne Number. In: Mathematical Tables and other Aids to Computation 2 (1945), S. 94.
12. ↑ Horace S. Uhler: On Mersenne’s Number M199 and Lucas’s Sequences. (PDF; 212 kB) In: Bulletin of the American Mathematical Society, 53, 1947, S. 163–164.
13. ↑ Horace S. Uhler: On All of Mersenne’s Numbers Particularly M₁₉₃. (PDF; 200 kB) In: Proceedings of the National Academy of Sciences, 34, 1948, S. 102–103. Horace S. Uhler: On Mersenne’s Number M227 and Cognate Data. (PDF; 320 kB) In: Bulletin of the American Mathematical Society, 54, 1948, Nr. 4, S. 378–380. Raymond Clare Archibald: Mersenne Numbers. In: Mathematical Tables and other Aids to Computation, 3, 1949, S. 398.
14. ↑ Donald B. Gillies: Three New Mersenne Primes and a Statistical Theory. In: Mathematics of Computation, 18, 1964, S. 93–97. Bryant Tuckerman: Corrections. In: Mathematics of Computation, 31, 1977, S. 1051.
15. ↑ ^{a b} Andreas Stiller: Neue größte bekannte Primzahl mit über 22 Millionen Stellen gefunden. In: heise online. Abgerufen am 20. Januar 2016. 
16. ↑ ^{a b} GIMPS: Discovery of the 50th known Mersenne Prime. Abgerufen am 3. Januar 2018. 
17. ↑ ^{a b} Mersenne Prime Discovery - 2^82589933-1 is Prime! 21. Dezember 2018, abgerufen am 22. Dezember 2018. 
18. ↑ Aus dieser Liste lassen sich die Sophie-Germain-Primzahlen mit ${\displaystyle p\equiv 3{\bmod {4}}}$ weglassen, weil für diese wie oben beschrieben 2p+1 ein Teiler von M_p ist (wie z. B. p = 11 → Teiler 23); diese machen aber für große p nur einen Bruchteil aller Primzahlen aus, vergleiche Sophie-Germain-Primzahl#Häufigkeit von Sophie-Germain-Primzahlen.
19. ↑ 23,2 Millionen Stellen: Elektroingenieur entdeckt Rekordprimzahl
20. ↑ ^{a b} List of known Mersenne prime numbers - PrimeNet. Abgerufen am 28. Dezember 2018. 
21. ↑ C. Pomerance: Recent developments in primality testing. In: Math. Intelligencer, 3:3, 1980/81, S. 97–105.
22. ↑ Eric W. Weisstein: Double Mersenne Number. MathWorld (englisch)
23. ↑ ^{a b} John B. Cosgrave: A research of Mersenne and Fermat primes. 2012, archiviert vom Original (nicht mehr online verfügbar) am 29. Mai 2012; abgerufen am 8. Juli 2020. 
24. ↑ Jerome A. Solinas: Generalized Mersenne Prime. Encyclopedia of Cryptography and Security, 2011, S. 509–510, abgerufen am 8. Juli 2020. 
25. ↑ ^{a b} Amos R. Omondi: Cryptography Arithmetic: Algorithms and Hardware Architectures. Springer-Verlag, 2020, S. 136–138, abgerufen am 8. Juli 2020. 
26. ↑ Extensions zu OEIS A057178
27. ↑ Mersenne and Fermat primes field
28. ↑ Allgemeine Repunit-Primzahlen (B^N-1)/(B-1)
29. ↑ Allgemeine Repunitpaar-Primzahlen (B^N+1)/(B+1)
30. ↑ Primzahlen aus Differenzen zwischen benachbarten Basen B konstanter Potenzen (B+1)^N-B^N
31. ↑ Primzahlen aus Summen zwischen benachbarten Basen B konstanter Potenzen (B+1)^N+B^N und ((B+1)^N+B^N)/(2*B+1)
32. ↑ Primzahlen aus Differenzen/Summen zwischen benachbarten ungeraden Basen B konstanter Potenzen ((B+2)^N-+B^N)/2
33. ↑ Primes of the Form(bⁿ+1)/(b+1)
34. ↑ PRP Top Records, Search for : (a^n-b^n)/c
35. ↑ PRP Top Records, Search for : (a^n+b^n)/c
36. ↑ Eric W. Weisstein: Ramanujan g- and G-Functions. In: MathWorld (englisch).
37. ↑ Eric W. Weisstein: Dedekind Eta Function. In: MathWorld (englisch).
38. ↑ Eric W. Weisstein: q-Pochhammer Symbol. In: MathWorld (englisch).
39. ↑ https://vdoc.pub/download/a-brief-introduction-to-theta-functions-6v41da306900
40. ↑ https://www.researchgate.net/profile/Toshio-Fukushima/publication/226331661_Fast_computation_of_complete_elliptic_integrals_and_Jacobian_elliptic_functions/links/0fcfd50b44bb3e76b9000000/Fast-computation-of-complete-elliptic-integrals-and-Jacobian-elliptic-functions.pdf?origin=publication_detail