Automorfismo interno

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Un automorfismo interno di un gruppo è un automorfismo indotto da un elemento g {\displaystyle g} del gruppo tramite coniugio, cioè un automorfismo nella forma

T g ( x ) = g − 1 x g {\displaystyle T_{g}(x)=g^{-1}xg}

per un elemento fissato g {\displaystyle g} del gruppo. Infatti questa funzione è un omomorfismo iniettivo e suriettivo, ovvero un isomorfismo.

Un automorfismo che non è interno è detto esterno.

In un gruppo abeliano l'unico automorfismo interno è l'identità. Inoltre due elementi g {\displaystyle g} ed h {\displaystyle h} che appartengono allo stesso laterale del centro Z {\displaystyle Z} inducono lo stesso automorfismo interno. Infatti se g = h z {\displaystyle g=hz} con z {\displaystyle z} nel centro allora

g − 1 x g {\displaystyle g^{-1}xg} = z − 1 h − 1 x h z {\displaystyle z^{-1}h^{-1}xhz} = h − 1 x h . {\displaystyle h^{-1}xh.}

L'insieme degli automorfismi interni forma un gruppo, denotato con Inn ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {Inn} (G)} , che è un sottogruppo normale del gruppo Aut ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {Aut} (G)} degli automorfismi del gruppo G {\displaystyle G} . Il gruppo Inn ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {Inn} (G)} è isomorfo al gruppo quoziente G / Z ( G ) {\displaystyle G/Z(G)} , dove Z ( G ) {\displaystyle Z(G)} è il centro di G {\displaystyle G} .

Nel gruppo simmetrico su n {\displaystyle n} elementi, se n ≠ 6 {\displaystyle n\neq 6} , tutti gli automorfismi sono interni.

Collegamenti esterni

  • (EN) Eric W. Weisstein, Automorfismo interno, su MathWorld, Wolfram Research. Modifica su Wikidata
  • (EN) Automorfismo interno, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society. Modifica su Wikidata
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