Campo di spezzamento

In algebra, un campo di spezzamento (o campo di riducibilità completa) di un polinomio ${\displaystyle p(x)}$, definito su un campo ${\displaystyle K}$, è la più piccola estensione di ${\displaystyle K}$ che contiene tutte le radici di ${\displaystyle p(x)}$.

Definizione

Sia ${\displaystyle K}$ un campo e ${\displaystyle p(x)}$ un polinomio a coefficienti in ${\displaystyle K}$. Se ${\displaystyle p(x)}$ è costante, un suo campo di spezzamento è ${\displaystyle K}$. Sia ora ${\displaystyle p(x)}$ non costante di grado ${\displaystyle n}$. Un'estensione ${\displaystyle L}$ di ${\displaystyle K}$ è un campo di spezzamento di ${\displaystyle p(x)}$ se:

• esistono ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in L}$ (non necessariamente distinti) ed ${\displaystyle u\in K\setminus \{0\}}$ tali che

${\displaystyle p(x)=u(x-\alpha _{1})\cdots (x-\alpha _{n})}$;

• l'estensione generata da ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$ su ${\displaystyle K}$ è uguale ad ${\displaystyle L}$.

La seconda condizione può anche essere espressa dicendo che, se ${\displaystyle L_{1}}$ è un'estensione intermedia tra ${\displaystyle K}$ ed ${\displaystyle L}$ (ossia se ${\displaystyle K\subseteq L_{1}\subsetneq L}$), allora esiste ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\}}$ tale che ${\displaystyle \alpha _{i}\notin L_{1}}$; in questo senso, ${\displaystyle L}$ è la più piccola estensione di ${\displaystyle K}$ contenente tutte le radici (non necessariamente distinte) ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$ di ${\displaystyle p(x)}$.

Costruzione

Se ${\displaystyle p(x)}$ è un polinomio a coefficienti in ${\displaystyle K}$, è sempre possibile costruire un campo di spezzamento di ${\displaystyle p(x)}$ su ${\displaystyle K}$, applicando ripetutamente quozienti di anelli di polinomi.

Supponiamo infatti che ${\displaystyle p(x)}$ si fattorizzi in ${\displaystyle K[x]}$ come ${\displaystyle f_{1}(x)\cdots f_{n}(x)}$. Allora, l'anello quoziente ${\displaystyle K_{1}[x]:=K[x]/(f_{1}(x))}$ è un campo (poiché ${\displaystyle (f_{1}(x))}$ è un ideale massimale) che contiene ${\displaystyle K}$ e una radice di ${\displaystyle f_{1}(x)}$. La fattorizzazione di ${\displaystyle p(x)}$ in ${\displaystyle K_{1}[x]}$ comprenderà quindi un fattore lineare (corrispondente alla radice di ${\displaystyle f_{1}(x)}$).

Il procedimento può essere ripetuto (passando poi ai fattori ${\displaystyle f_{2}(x),\ldots ,f_{n}(x)}$) e termina dal momento che il grado di ${\displaystyle p(x)}$ è finito; il campo che si ottiene alla fine è esattamente un campo di spezzamento di ${\displaystyle p(x)}$ su ${\displaystyle K}$.

Applicando questa costruzione ad ogni polinomio (con l'aiuto del lemma di Zorn se il campo di partenza non è numerabile) si ottiene la costruzione di una chiusura algebrica di ${\displaystyle K}$.

Unicità

Due campi di spezzamento di uno stesso polinomio, su uno stesso campo, sono isomorfi.

Se ${\displaystyle F}$ è un campo algebricamente chiuso contenente ${\displaystyle K}$ (ad esempio, se è la sua chiusura algebrica) allora esiste un unico campo di spezzamento di ${\displaystyle p(x)}$ contenuto in ${\displaystyle F}$. Gli automorfismi di questo campo di spezzamento formano un gruppo che, se ${\displaystyle p(x)}$ è separabile su ${\displaystyle K}$, è detto gruppo di Galois del polinomio; esso misura, in un certo senso, in quanti modi diversi il campo di spezzamento di ${\displaystyle p(x)}$ può essere costruito.

I sottocampi di ${\displaystyle F}$ che sono campi di spezzamento di un polinomio separabile a coefficienti in ${\displaystyle K}$ sono esattamente le estensioni algebriche, normali e di grado finito di ${\displaystyle K}$.

Se ${\displaystyle p(x)}$ è irriducibile, tale campo è la chiusura normale del sottocampo ${\displaystyle K(\alpha )}$, dove ${\displaystyle \alpha }$ è una qualsiasi radice di ${\displaystyle p(x)}$.

Esempi

• Sia ${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$ il campo dei numeri razionali e ${\displaystyle p(x)=x^{3}-2}$. Il campo di spezzamento di ${\displaystyle p(x)}$ contenuto nel campo dei numeri complessi ${\displaystyle \mathbb {C} }$ (che è algebricamente chiuso) è il sottocampo generato (su ${\displaystyle \mathbb {Q} }$) dalla radice cubica di 2 e dalle radici terze dell'unità.
• Il campo di spezzamento di ${\displaystyle x^{2}+1}$ sul campo ${\displaystyle \mathbb {R} }$ dei numeri reali è tutto ${\displaystyle \mathbb {C} }$.
• Il campo di spezzamento di ${\displaystyle x^{p^{n}}-x}$ sul campo ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ delle classi di resto modulo ${\displaystyle p}$ (dove ${\displaystyle p}$ è un numero primo) è un campo finito di ordine ${\displaystyle p^{n}}$. In particolare, l'esistenza e l'unicità dei campi di spezzamento dimostra che, se ${\displaystyle q}$ è la potenza di un numero primo, allora esiste un unico campo (a meno di isomorfismo) di cardinalità ${\displaystyle q}$.

Bibliografia

• Stefania Gabelli, Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois, Milano, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0618-8.

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Campo di spezzamento, su MathWorld, Wolfram Research.

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