Disequazione con il valore assoluto

Il grafico della funzione valore assoluto

In matematica una disequazione con valore assoluto è una disequazione del tipo | f ( x ) | ⋛ g ( x ) {\displaystyle \left|f(x)\right|\gtreqless g(x)} , dove:

  • f {\displaystyle f} e g {\displaystyle g} sono due funzioni qualsiasi.[1]


Caso particolare: g ( x ) {\displaystyle g(x)} funzione costante

Consideriamo prima di tutto il caso in cui g ( x ) = k ∈ R {\displaystyle g(x)=k\in \mathbb {R} } . Si ha pertanto | f ( x ) | ⋛ k {\displaystyle \left|f(x)\right|\gtreqless k} .

Le disequazioni di questo tipo si possono risolvere in maniera meccanica a seconda del valore di k {\displaystyle k} , sfruttando il fatto che il valore assoluto di un numero è sempre maggiore o uguale a 0 {\displaystyle 0} .[2]

k < 0

  • | f ( x ) | ≤ k {\displaystyle \left|f(x)\right|\leq k}
Non può mai capitare che il primo membro sia minore o uguale a un numero negativo. La disequazione è impossibile.
  •   | f ( x ) | < k {\displaystyle \ \left|f(x)\right|<k}
Non può mai capitare che il primo membro sia minore di un numero negativo. La disequazione è impossibile.
  • | f ( x ) | ≥ k {\displaystyle \left|f(x)\right|\geq k}
Il primo membro (nei punti dove è definito) è sempre maggiore o uguale di un numero negativo.
La soluzione è ∀ x ∈ D {\displaystyle \forall x\in D} , dove D {\displaystyle D} è il dominio di f {\displaystyle f} .
  • | f ( x ) | > k {\displaystyle \left|f(x)\right|>k}
Il primo membro (nei punti dove è definito) è sempre maggiore di un numero negativo.
La soluzione è ∀ x ∈ D {\displaystyle \forall x\in D} , dove D {\displaystyle D} è il dominio di f {\displaystyle f} .

k = 0

  • | f ( x ) | < 0 {\displaystyle \left|f(x)\right|<0}
Il primo membro non potrà mai essere minore di zero. La disequazione è impossibile.
  • | f ( x ) | ≤ 0 {\displaystyle \left|f(x)\right|\leq 0}
Le uniche soluzioni sono quelle che rendono il primo membro uguale a zero, quindi risolvere questa disequazione è equivalente a risolvere l'equazione f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} .
  • | f ( x ) | > 0 {\displaystyle \left|f(x)\right|>0}
Vanno bene tutti i valori tranne quelli che rendono nulla f ( x ) {\displaystyle f(x)} . Pertanto in questo caso bisogna risolvere f ( x ) ≠ 0 {\displaystyle f(x)\neq 0} .
  • | f ( x ) | ≥ 0 {\displaystyle \left|f(x)\right|\geq 0}
Qualunque elemento del dominio è accettato: la soluzione è ∀ x ∈ D {\displaystyle \forall x\in D} , sempre con D {\displaystyle D} dominio di f {\displaystyle f} .

k > 0

In questo caso ci si riporta a disequazioni senza valore assoluto:

  • | f ( x ) | < k {\displaystyle \left|f(x)\right|<k}
È equivalente a − k < f ( x ) < k {\displaystyle -k<f(x)<k} , cioè al sistema { f ( x ) > − k f ( x ) < k {\displaystyle {\begin{cases}f(x)>-k\\f(x)<k\end{cases}}}
  • | f ( x ) | ≤ k {\displaystyle \left|f(x)\right|\leq k}
È equivalente a − k ≤ f ( x ) ≤ k {\displaystyle -k\leq f(x)\leq k} , cioè al sistema { f ( x ) ≥ − k f ( x ) ≤ k {\displaystyle {\begin{cases}f(x)\geq -k\\f(x)\leq k\end{cases}}}
  • | f ( x ) | > k {\displaystyle \left|f(x)\right|>k}
È equivalente a f ( x ) < − k ∨ f ( x ) > k {\displaystyle f(x)<-k\quad \vee \quad f(x)>k}
  • | f ( x ) | ≥ k {\displaystyle \left|f(x)\right|\geq k}
È equivalente a f ( x ) ≤ − k ∨ f ( x ) ≥ k {\displaystyle f(x)\leq -k\quad \vee \quad f(x)\geq k}

Caso generale

In questo caso sia a primo membro che al secondo ci sono due funzioni di x {\displaystyle x} , e il metodo risolutivo dipende dal segno di disuguaglianza presente tra di esse.[3]

|f(x)| < g(x)

La disequazione è equivalente a { f ( x ) ≥ 0 f ( x ) < g ( x ) ∨ { f ( x ) < 0 f ( x ) > − g ( x ) {\displaystyle {\begin{cases}f(x)\geq 0\\f(x)<g(x)\end{cases}}\vee {\begin{cases}f(x)<0\\f(x)>-g(x)\end{cases}}}

o, in alternativa, a − g ( x ) < f ( x ) < g ( x ) {\displaystyle -g(x)<f(x)<g(x)}

|f(x)| ≤ g(x)

La disequazione è equivalente a { f ( x ) ≥ 0 f ( x ) ≤ g ( x ) ∨ { f ( x ) < 0 f ( x ) ≥ − g ( x ) {\displaystyle {\begin{cases}f(x)\geq 0\\f(x)\leq g(x)\end{cases}}\vee {\begin{cases}f(x)<0\\f(x)\geq -g(x)\end{cases}}}

o, in alternativa, a − g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ g ( x ) {\displaystyle -g(x)\leq f(x)\leq g(x)}

|f(x)| > g(x)

La disequazione è equivalente a { f ( x ) ≥ 0 f ( x ) > g ( x ) ∨ { f ( x ) < 0 f ( x ) < − g ( x ) {\displaystyle {\begin{cases}f(x)\geq 0\\f(x)>g(x)\end{cases}}\vee {\begin{cases}f(x)<0\\f(x)<-g(x)\end{cases}}}

o, in alternativa, a f ( x ) < − g ( x ) ∨ f ( x ) > g ( x ) {\displaystyle f(x)<-g(x)\vee f(x)>g(x)}

|f(x)| ≥ g(x)

La disequazione è equivalente a { f ( x ) ≥ 0 f ( x ) ≥ g ( x ) ∨ { f ( x ) < 0 f ( x ) ≤ − g ( x ) {\displaystyle {\begin{cases}f(x)\geq 0\\f(x)\geq g(x)\end{cases}}\vee {\begin{cases}f(x)<0\\f(x)\leq -g(x)\end{cases}}}

o, in alternativa, a f ( x ) ≤ − g ( x ) ∨ f ( x ) ≥ g ( x ) {\displaystyle f(x)\leq -g(x)\vee f(x)\geq g(x)}

Presenza di più valori assoluti

| x − 1 | + | 2 x + 3 | < 2 {\displaystyle \left|x-1\right|+\left|2x+3\right|<2}

Nel caso siano presenti due o più valori assoluti è necessario aprire i valori assoluti secondo la definizione:[4]

| a | = { a a ≥ 0 − a a < 0 {\displaystyle \left|a\right|=\left\{{\begin{matrix}a&a\geq 0\\-a&a<0\end{matrix}}\right.}

Quindi nell'esercizio proposto i due valori assoluti diventano:

| x − 1 | = { x − 1 x ≥ 1 − ( x − 1 ) x < 1 {\displaystyle \left|x-1\right|=\left\{{\begin{matrix}x-1&x\geq 1\\-(x-1)&x<1\end{matrix}}\right.}

e | 2 x + 3 | = { 2 x + 3 x ≥ − 3 2 − ( 2 x + 3 ) x < − 3 2 {\displaystyle \left|2x+3\right|=\left\{{\begin{matrix}2x+3&x\geq -{\frac {3}{2}}\\-(2x+3)&x<-{\frac {3}{2}}\end{matrix}}\right.}

Si individuano pertanto gli intervalli dell'asse reale in cui gli argomenti dei valori assoluti mantengono il loro segno. In questo caso ci sono tre intervalli e in tali intervalli i valori assoluti vengono aperti:

{ x < − 3 2 − ( x − 1 ) − ( 2 x + 3 ) < 2 ∨ { − 3 2 ≤ x < 1 − ( x − 1 ) + ( 2 x + 3 ) < 2 ∨ { x ≥ 1 ( x − 1 ) + ( 2 x + 3 ) < 2 {\displaystyle {\begin{cases}x<-{\frac {3}{2}}\\-(x-1)-(2x+3)<2\end{cases}}\vee {\begin{cases}-{\frac {3}{2}}\leq x<1\\-(x-1)+(2x+3)<2\end{cases}}\vee {\begin{cases}x\geq 1\\(x-1)+(2x+3)<2\end{cases}}}

Le soluzioni dei tre sistemi vanno unite nell'insieme di soluzione della disequazione data in partenza.

Note

  1. ^ Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 1), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1680-7. p.151
  2. ^ Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Matematica.blu (seconda edizione) Vol.1, Zanichelli - Bologna, 2018, ISBN 978-88-08-22085-1. p.578
  3. ^ Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 1), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1680-7. pp.151-152
  4. ^ Nella Dodero, Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Nuovo corso di geometria analitica e di complementi di algebra, Ghisetti e Corvi, 1995, ISBN 88-80-13173-7. pp.138-141

Bibliografia

  • Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Matematica.blu (seconda edizione) Vol.1, Zanichelli - Bologna, 2018, ISBN 978-88-08-22085-1.
  • Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 1), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1680-7.
  • Nella Dodero, Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Nuovo corso di geometria analitica e di complementi di algebra, Ghisetti e Corvi, 1995, ISBN 88-80-13173-7.

Voci correlate

  • Valore assoluto
  • Disequazione algebrica
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