Numero complesso iperbolico

In matematica, i numeri complessi iperbolici (o numeri complessi spezzati) sono un'estensione dei numeri reali, ottenuta aggiungendo ad essi un elemento non reale, usualmente indicato con il simbolo ε {\displaystyle \varepsilon } , e detto unità immaginaria iperbolica, il cui quadrato è uguale a 1 {\displaystyle 1} . I numeri complessi iperbolici presentano numerose analogie con gli ordinari numeri complessi; a differenza di questi, però, non costituiscono un campo, ma solamente un anello.

I numeri complessi iperbolici furono introdotti nel 1848 da James Cockle, e utilizzati da William Clifford per rappresentare la somma di rotazioni. A partire dal XX secolo sono stati utilizzati per rappresentare le trasformazioni di Lorentz all'interno della relatività ristretta.

Algebra dei complessi iperbolici

Un numero complesso iperbolico può essere espresso nella forma:

z = a + b ε {\displaystyle z=a+b\varepsilon } ,

dove a {\displaystyle a} e b {\displaystyle b} sono numeri reali, e vale la relazione:

ε 2 = 1 {\displaystyle \varepsilon ^{2}=1} .

Sui numeri complessi è possibile eseguire le normali operazioni algebriche, considerando ε {\displaystyle \varepsilon } come una variabile, e avendo cura di eseguire la sostituzione ε 2 = 1 {\displaystyle \varepsilon ^{2}=1} (o, più in generale, ε 2 n = 1 {\displaystyle \varepsilon ^{2n}=1} per ogni potenza pari dell'unità immaginaria iperbolica, e ε 2 n + 1 = ε {\displaystyle \varepsilon ^{2n+1}=\varepsilon } per ogni potenza dispari). È quindi possibile calcolare la somma e il prodotto di due numeri complessi iperbolici z 1 = a 1 + b 1 ε {\displaystyle z_{1}=a_{1}+b_{1}\varepsilon } e z 2 = a 2 + b 2 ε {\displaystyle z_{2}=a_{2}+b_{2}\varepsilon } :

z 1 + z 2 = ( a 1 + a 2 ) + ( b 1 + b 2 ) ε z 1 z 2 = ( a 1 a 2 + b 1 b 2 ) + ( a 1 b 2 + a 2 b 1 ) ε {\displaystyle {\begin{matrix}z_{1}+z_{2}&=&(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})\varepsilon \\z_{1}z_{2}&=&(a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2})+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})\varepsilon \\\end{matrix}}}

L'inverso moltiplicativo del numero a + b ε {\displaystyle a+b\varepsilon } è:

( a + b ε ) − 1 = a − b ε a 2 − b 2 {\displaystyle \left(a+b\varepsilon \right)^{-1}={\frac {a-b\varepsilon }{a^{2}-b^{2}}}} ,

ed è definito solamente se a 2 − b 2 ≠ 0 {\displaystyle a^{2}-b^{2}\neq 0} , per cui i numeri complessi iperbolici non formano un campo.

I complessi iperbolici come anello quoziente

È possibile definire i numeri iperbolici come gli elementi dell'anello quoziente

R [ X ] ( X 2 − 1 ) {\displaystyle {\frac {\mathbb {R} [X]}{(X^{2}-1)}}} ,

dove R [ X ] {\displaystyle \mathbb {R} [X]} è l'anello dei polinomi in una variabile a coefficienti reali, e in ( X 2 − 1 ) {\displaystyle (X^{2}-1)} è l'ideale generato dal polinomio X 2 − 1 {\displaystyle X^{2}-1} . Questo ideale non è massimale, perché è contenuto nei due ideali ( X − 1 ) {\displaystyle (X-1)} e ( X + 1 ) {\displaystyle (X+1)} , pertanto l'anello dei numeri complessi iperbolici non è un campo. Inoltre, le operazioni di somma e prodotto sono continue rispetto all'usuale topologia del piano, per cui l'anello è anche un anello topologico.

Definendo l'operazione di prodotto per uno scalare α ∈ R {\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} } :

α ( a + b ε ) = α a + α b ε {\displaystyle \alpha (a+b\varepsilon )=\alpha a+\alpha b\varepsilon } ,

i numeri complessi iperbolici formano una algebra associativa e commutativa dotata di unità, di dimensione 2 {\displaystyle 2} . Questa algebra è anche un'algebra di Clifford, dotata di una forma quadratica definita positiva.

Metrica

I numeri iperbolici complessi possono essere rappresentati sul piano reale, analogamente agli usuali numeri complessi; questo piano tuttavia non possiede la metrica euclidea: definiamo il coniugato del numero z = x + y ε {\displaystyle z=x+y\varepsilon } come z ∗ = x − y ε {\displaystyle z^{*}=x-y\varepsilon } . Il modulo di un numero complesso iperbolico è allora definito come:

| z | = z z ∗ = x 2 − y 2 {\displaystyle |z|=zz^{*}=x^{2}-y^{2}} .

La metrica così definita ha segnatura ( 1 , − 1 ) {\displaystyle (1,-1)} e dota i numeri complessi iperbolici della struttura di spazio di Minkowski, ed è conservata dalla moltiplicazione:

‖ z w ‖ = ‖ z ‖ ‖ w ‖ . {\displaystyle \lVert zw\rVert =\lVert z\rVert \lVert w\rVert .} .

È anche possibile definire un equivalente della formula di Eulero:

exp ⁡ ( ε θ ) = cosh ⁡ ( θ ) + ε sinh ⁡ ( θ ) {\displaystyle \exp(\varepsilon \theta )=\cosh(\theta )+\varepsilon \sinh(\theta )} .

I numeri della forma exp ⁡ ( ε θ ) {\displaystyle \exp(\varepsilon \theta )} hanno modulo uguale a 1 {\displaystyle 1} secondo la metrica appena definita, e giacciono sull'iperbole equilatera di equazione:

x 2 − y 2 = 1 {\displaystyle x^{2}-y^{2}=1} .

Questa iperbole svolge sul piano iperbolico un ruolo analogo a quello della circonferenza unitaria sul piano complesso. La moltiplicazione per exp ⁡ ( ε θ ) {\displaystyle \exp(\varepsilon \theta )} conserva la norma, e corrisponde ad una rotazione iperbolica, ovvero ad una trasformazione di Lorentz.

È anche possibile definire il prodotto scalare come:

⟨ z 1 , z 2 ⟩ = ⟨ a 1 + b 1 ε , a 2 + b 2 ε ⟩ = R e ( z 1 z 2 ∗ ) = R e ( z 1 ∗ z 2 ) = a 1 a 2 − b 1 b 2 {\displaystyle \left\langle z_{1},z_{2}\right\rangle =\left\langle a_{1}+b_{1}\varepsilon ,a_{2}+b_{2}\varepsilon \right\rangle =\mathrm {Re} \left(z_{1}z_{2}^{*}\right)=\mathrm {Re} \left(z_{1}^{*}z_{2}\right)=a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2}} .

Rappresentazione matriciale

Le proprietà algebriche dell'unita immaginaria ε {\displaystyle \varepsilon } sono esprimibili dalla matrice:

( 0 1 1 0 ) . {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}.}

In generale, il numero complesso iperbolico a + b ε {\displaystyle a+b\varepsilon } è rappresentato dalla matrice

( a b b a ) . {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\b&a\end{pmatrix}}.}

Le usuali operazioni di somma e moltiplicazione tra matrici coincidono con la somma e il prodotto definiti sopra. L'operazione di coniugazione corrisponde alla moltiplicazione da ambo i lati per la matrice:

( 1 0 0 − 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}} .

La rotazione iperbolica corrisponde alla moltiplicazione per la matrice:

( cosh ⁡ θ sinh ⁡ θ sinh ⁡ θ cosh ⁡ θ ) . {\displaystyle {\begin{pmatrix}\cosh \theta &\sinh \theta \\\sinh \theta &\cosh \theta \end{pmatrix}}.}

La base diagonale

L'unità reale 1 {\displaystyle 1} e quella immaginaria ε {\displaystyle \varepsilon } costituiscono una base per il piano complesso iperbolico; è possibile tuttavia utilizzare altre basi mediante opportuni cambi di coordinate. Una base particolarmente utilizzata è quella costituita dai due elementi idempotenti non banali:

e = 1 − ε 2 e ∗ = 1 + ε 2 {\displaystyle {\begin{matrix}e&=&{\frac {1-\varepsilon }{2}}\\e^{*}&=&{\frac {1+\varepsilon }{2}}\end{matrix}}}

La base formata da e {\displaystyle e} ed e ∗ {\displaystyle e^{*}} è detta base diagonale o base nulla, in quanto i suoi componenti hanno modulo nullo. La trasformazione delle coordinate da una base all'altra è data dalla seguente formula:

z = a + b ε = ( a − b ) e + ( a + b ) e ∗ {\displaystyle z=a+b\varepsilon =(a-b)e+(a+b)e^{*}} .

Alcune operazioni tra numeri complessi iperbolici hanno una espressione molto più semplice nella base diagonale; dati i numeri z 1 = x 1 e + y 1 e ∗ {\displaystyle z_{1}=x_{1}e+y_{1}e^{*}} e z 2 = x 2 e + y 2 e ∗ {\displaystyle z_{2}=x_{2}e+y_{2}e^{*}} valgono le seguenti:

  • moltiplicazione: z 1 z 2 = ( x 1 x 2 ) e + ( y 1 y 2 ) e ∗ {\displaystyle z_{1}z_{2}=(x_{1}x_{2})e+(y_{1}y_{2})e^{*}} ;
  • coniugazione: z 1 ∗ = y 1 e + x 1 e ∗ {\displaystyle z_{1}^{*}=y_{1}e+x_{1}e^{*}} ;
  • modulo: ‖ z 1 ‖ = x 1 y 1 {\displaystyle \lVert z_{1}\rVert =x_{1}y_{1}} .

Voci correlate

Collegamenti esterni

  • (EN) Introduction to Algebraic Motors, su ca.geocities.com (archiviato dall'url originale l'11 agosto 2006)., introduzione ai motori algebrici
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