Gruppo ordinato

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In algebra, un gruppo ordinato è un gruppo G {\displaystyle G} dotato di una relazione d'ordine parziale che preserva l'operazione di gruppo: se ≤ {\displaystyle \leq } è una relazione d'ordine ordine su G {\displaystyle G} , allora per ogni a , b , c {\displaystyle a,b,c} in G {\displaystyle G} deve valere che

a ≤ b {\displaystyle a\leq b} implica a c ≤ b c {\displaystyle ac\leq bc} e c a ≤ c b . {\displaystyle ca\leq cb.}

Si dice anche che ≤ {\displaystyle \leq } è invariante per traslazioni (la motivazione del nome è più evidente per gruppi additivi).

Grazie alle proprietà di un gruppo possiamo enunciare la caratterizzazione:

a ≤ b {\displaystyle a\leq b} se e solo se e ≤ a − 1 b , {\displaystyle e\leq a^{-1}b,}

dove e {\displaystyle e} è l'elemento neutro del gruppo. L'insieme degli elementi maggiori o uguali di e {\displaystyle e} si denota con G + {\displaystyle G^{+}} e si dice il cono positivo di G {\displaystyle G} . L'insieme G + {\displaystyle G^{+}} definisce completamente l'ordine: infatti un gruppo è un gruppo ordinato se e solo se esiste un suo sottoinsieme H {\displaystyle H} (che sarà proprio G + {\displaystyle G^{+}} ) tale che:

  • e ∈ H {\displaystyle e\in H} ;
  • se a , b ∈ H {\displaystyle a,b\in H} , allora a b ∈ H {\displaystyle ab\in H} ;
  • se a ∈ H {\displaystyle a\in H} , allora b − 1 a b ∈ H {\displaystyle b^{-1}ab\in H} per ogni b {\displaystyle b} ;
  • se a , a − 1 ∈ H {\displaystyle a,a^{-1}\in H} , allora a = e {\displaystyle a=e} .

Un omomorfismo tra gruppi ordinati (o O-omomorfismo) è definito come un omomorfismo di gruppi che sia anche una funzione monotona.

Esempi

  • Uno spazio vettoriale ordinato e un campo ordinato sono banalmente gruppi ordinati rispetto all'addizione.
  • Il prodotto diretto di n {\displaystyle n} copie del gruppo additivo dei numeri interi Z n {\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}} con l'ordinamento "termine a termine", cioè a ≤ b {\displaystyle a\leq b} se a i ≤ b i {\displaystyle a_{i}\leq b_{i}} per ogni i = 1 , … , n {\displaystyle i=1,\ldots ,n} , è un gruppo ordinato.
  • L'insieme delle funzioni da un qualsiasi insieme a un gruppo ordinato è un gruppo ordinato, con le operazioni definite puntualmente.

Collegamenti esterni

  • (EN) Gruppo ordinato / Gruppo ordinato (altra versione), su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society. Modifica su Wikidata
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