Rozkład F Snedecora

Rozkład F Snedecora

Gęstość prawdopodobieństwa
Dystrybuanta
Parametry	${\displaystyle d_{1}>0,\ d_{2}>0}$ stopni swobody
Nośnik	${\displaystyle x\in [0;+\infty )}$
Gęstość prawdopodobieństwa	${\displaystyle {\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}\,x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}\,x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}}$
Dystrybuanta	${\displaystyle I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}(d_{1}/2,d_{2}/2)}$
Wartość oczekiwana (średnia)	${\displaystyle {\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}}$ ${\displaystyle {\text{ dla }}d_{2}>2}$
Moda	${\displaystyle {\frac {d_{1}-2}{d_{1}}}\;{\frac {d_{2}}{d_{2}+2}}}$ ${\displaystyle {\text{ dla }}d_{1}>2}$
Wariancja	${\displaystyle {\frac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}}}$ ${\displaystyle {\text{ dla }}d_{2}>4}$
Współczynnik skośności	${\displaystyle {\frac {(2d_{1}+d_{2}-2){\sqrt {8(d_{2}-4)}}}{(d_{2}-6){\sqrt {d_{1}(d_{1}+d_{2}-2)}}}}}$ for ${\displaystyle d_{2}>6}$
Kurtoza	${\displaystyle {\tfrac {12(20d_{2}-8d_{2}^{2}+d_{2}^{3}+44d_{1}-32d_{1}d_{2}}{d_{1}(d_{2}-6)(d_{2}-8)(d_{1}+d_{2}-2)}}+}$ ${\displaystyle +{\tfrac {5d_{2}^{2}d_{1}-22d_{1}^{2}+5d_{2}d_{1}^{2}-16)}{d_{1}(d_{2}-6)(d_{2}-8)(d_{1}+d_{2}-2)}}.}$
Odkrywca	Ronald Fisher, George W. Snedecor

Zobacz w Wikiźródłach tablicę kwantyli rozkładu F Snedecora

Rozkład F Snedecora, rozkład F^[1], rozkład Fishera-Snedecora^[2] – rozkład prawdopodobieństwa ciągłej zmiennej losowej, wykorzystywany między innymi w testach statystycznych, na przykład w analizie wariancji.

Definicja

Jeżeli niezależne zmienne losowe ${\displaystyle S_{1}}$ i ${\displaystyle S_{2}}$ mają rozkłady chi-kwadrat o odpowiednio ${\displaystyle d_{1}}$ i ${\displaystyle d_{2}}$ stopniach swobody: ${\displaystyle S_{1}\sim \chi _{d_{1}}^{2}\ {}}$ i ${\displaystyle {}\ S_{2}\sim \chi _{d_{2}}^{2},}$ to zmienna losowa ${\textstyle X={\frac {S_{1}/d_{1}}{S_{2}/d_{2}}}}$ ma rozkład F o ${\displaystyle d_{1},}$ ${\displaystyle d_{2}}$ stopniach swobody, co zapisujemy:

${\displaystyle X={\frac {S_{1}/d_{1}}{S_{2}/d_{2}}}\sim F_{d_{1},d_{2}}.}$

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa zmiennej ${\displaystyle X}$ jest dana wzorem^[3]:

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{d_{1},d_{2}}(x)&={\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\operatorname {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\\[5pt]&={\frac {1}{\operatorname {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\left({\frac {d_{1}}{d_{2}}}\right)^{\frac {d_{1}}{2}}x^{{\frac {d_{1}}{2}}-1}\left(1+{\frac {d_{1}}{d_{2}}}\,x\right)^{-{\frac {d_{1}+d_{2}}{2}}}\end{aligned}}}$

dla ${\displaystyle x>0,}$ gdzie ${\displaystyle \mathrm {B} }$ to funkcja beta.

Dystrybuanta dana jest wzorem:

${\displaystyle F_{d_{1},d_{2}}(x)=I_{d_{1}x/(d_{1}x+d_{2})}\left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right),}$

gdzie ${\displaystyle I}$ to regularyzowana niekompletna funkcja beta.

Historia i nazwa

W 1924 roku Ronald Fisher stworzył tablice dla rozkładu, który oznaczył literą ${\displaystyle Z=\ln(F/2),}$ zaś w 1934 roku George Snedecor w hołdzie Fisherowi nadał rozkładowi ${\displaystyle \textstyle {\frac {S_{1}/d_{1}}{S_{2}/d_{2}}}}$ nazwę F i stablicował go^[1].

Przypisy