Loi bêta décentrée Densité de probabilité Fonction de répartition Paramètres α > 0 {\displaystyle \alpha >0} β > 0 {\displaystyle \beta >0} paramètres de forme λ ∈ R {\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} } Support x ∈ [ 0 ; 1 ] {\displaystyle x\in [0;1]\!} Densité de probabilité ∑ j = 0 ∞ 1 j ! ( λ 2 ) j e − λ / 2 x α + j − 1 ( 1 − x ) β − 1 B ( α + j , β ) {\displaystyle \scriptstyle \sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{j!}}\left({\frac {\lambda }{2}}\right)^{j}\mathrm {e} ^{-\lambda /2}{\frac {x^{\alpha +j-1}(1-x)^{\beta -1}}{B(\alpha +j,\beta )}}} Fonction de répartition ∑ j = 0 ∞ 1 j ! ( λ 2 ) j e − λ / 2 I x ( a + j , b ) {\displaystyle \scriptstyle \sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{j!}}\left({\frac {\lambda }{2}}\right)^{j}\mathrm {e} ^{-\lambda /2}I_{x}(a+j,b)} modifier
En théorie des probabilités et en statistique, la loi bêta décentrée est une loi de probabilité continue généralisant la loi bêta (sous-entendue centrée) en la décentrant grâce à un paramètre λ {\displaystyle \lambda }
Densité de probabilité La densité de probabilité de la loi bêta décentrée est :
f ( x ) = { ∑ j = 0 ∞ 1 j ! ( λ 2 ) j e − λ / 2 x α + j − 1 ( 1 − x ) β − 1 B ( α + j , β ) pour x ∈ [ 0 , 1 ] 0 sinon {\displaystyle f(x)={\begin{cases}\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{j!}}\left({\frac {\lambda }{2}}\right)^{j}\mathrm {e} ^{-\lambda /2}{\frac {x^{\alpha +j-1}(1-x)^{\beta -1}}{B(\alpha +j,\beta )}}&{\hbox{ pour }}x\in [0,1]\\0&{\hbox{ sinon }}\end{cases}}} où B {\displaystyle B} fonction bêta , α {\displaystyle \alpha } β {\displaystyle \beta } paramètres de forme et λ {\displaystyle \lambda }
Fonction de répartition La fonction de répartition de la loi bêta décentrée est :
F ( x ) = ∑ j = 0 ∞ 1 j ! ( λ 2 ) j e − λ / 2 I x ( a + j , b ) {\displaystyle F(x)=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{j!}}\left({\frac {\lambda }{2}}\right)^{j}\mathrm {e} ^{-\lambda /2}I_{x}(a+j,b)} où I x {\displaystyle I_{x}} fonction bêta incomplète régularisée , a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} λ {\displaystyle \lambda }
Cas particuliers Quand λ = 0 {\displaystyle \lambda =0} loi bêta .
Références (en) Milton Abramowitz et Irene Stegun , Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables[détail de l’édition] (lire en ligne) (en) J.L. Jr Hodges , « On the noncentral beta-distribution », Annals of Mathematical Statistics vol. 26, 1955 , p. 648–653(en) G.A.F. Seber , « The non-central chi-squared and beta distributions », Biometrika vol. 50, 1963 , p. 542–544Portail des probabilités et de la statistique 
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![{\displaystyle f(x)={\begin{cases}\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{j!}}\left({\frac {\lambda }{2}}\right)^{j}\mathrm {e} ^{-\lambda /2}{\frac {x^{\alpha +j-1}(1-x)^{\beta -1}}{B(\alpha +j,\beta )}}&{\hbox{ pour }}x\in [0,1]\\0&{\hbox{ sinon }}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1910569f98655300e122fbfcb17593049d4bc17f)
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