Loi parabolique Densité de probabilité Fonction de répartition Paramètres a ∈ ] − ∞ , ∞ [ {\displaystyle a\in ]-\infty ,\infty [} b > 0 {\displaystyle b>0} ou α > 0 {\displaystyle \alpha >0} β ∈ ] − ∞ , ∞ [ , {\displaystyle \beta \in ]-\infty ,\infty [,} Support x ∈ [ a − b , a + b ] {\displaystyle x\in [a-b,a+b]\!} Densité de probabilité α ( x − β ) 2 {\displaystyle \alpha \left(x-\beta \right)^{2}} Fonction de répartition α 3 ( ( x − β ) 3 − 3 2 α ) {\displaystyle {\alpha \over 3}\left((x-\beta )^{3}-{\frac {3}{2\alpha }}\right)} Espérance a = β {\displaystyle a=\beta } Médiane a = β {\displaystyle a=\beta } Variance 3 5 b 2 {\displaystyle {3 \over 5}b^{2}} Asymétrie 0 {\displaystyle 0} Kurtosis normalisé − 38 21 {\displaystyle -{\frac {38}{21}}} modifier
En théorie des probabilités et en statistique, la loi parabolique est une loi de probabilité continue dont la densité de probabilité est définie à partir d'une fonction polynomiale de degré deux, c'est-à-dire une fonction f ( x ) = α ( x − β ) 2 {\displaystyle f(x)=\alpha \left(x-\beta \right)^{2}}
Cette loi est également appelée loi parabolique de forme ∪ {\displaystyle \cup } . De manière similaire on peut définir la loi parabolique de forme ∩ {\displaystyle \cap } .
Densité de probabilité La densité de probabilité de la loi parabolique est :
f ( x ) = { α ( x − β ) 2 pour x ∈ [ β − ( 3 2 α ) 1 / 3 , β + ( 3 2 α ) 1 / 3 ] 0 sinon. {\displaystyle f(x)={\begin{cases}\alpha \left(x-\beta \right)^{2}&{\hbox{ pour }}x\in [\beta -({\frac {3}{2\alpha }})^{1/3},\beta +({\frac {3}{2\alpha }})^{1/3}]\\0&{\hbox{ sinon.}}\end{cases}}} où α > 0 {\displaystyle \alpha >0} β ∈ R {\displaystyle \beta \in \mathbb {R} }
Il est parfois plus simple de considérer la fonction de densité sous une forme différente :
f ( x ) = { 3 2 b ( x − a b ) 2 pour x ∈ [ a − b , a + b ] 0 sinon. {\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {3}{2b}}\left({\frac {x-a}{b}}\right)^{2}&{\hbox{ pour }}x\in [a-b,a+b]\\0&{\hbox{ sinon.}}\end{cases}}} où a ∈ R {\displaystyle a\in \mathbb {R} } b > 0 {\displaystyle b>0}
Les coefficients a = β {\displaystyle a=\beta } α = 3 2 b 3 {\displaystyle \alpha ={\frac {3}{2b^{3}}}}
Fonction de répartition La fonction de répartition de la loi parabolique est :
F ( x ) = { 0 pour x < β − ( 3 2 α ) 1 / 3 α 3 ( ( x − β ) 3 − 3 2 α ) pour x ∈ [ β − ( 3 2 α ) 1 / 3 , β + ( 3 2 α ) 1 / 3 ] 1 pour x > β + ( 3 2 α ) 1 / 3 {\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&{\hbox{ pour }}x<\beta -({\frac {3}{2\alpha }})^{1/3}\\\displaystyle {\alpha \over 3}\left((x-\beta )^{3}-{\frac {3}{2\alpha }}\right)&{\hbox{ pour }}x\in [\beta -({\frac {3}{2\alpha }})^{1/3},\beta +({\frac {3}{2\alpha }})^{1/3}]\\1&{\hbox{ pour }}x>\beta +({\frac {3}{2\alpha }})^{1/3}\end{cases}}} ou
F ( x ) = { 0 pour x < a − b 1 2 [ ( x − a b ) 3 + 1 ] pour x ∈ [ a − b , a + b ] 1 pour x > b + a {\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&{\hbox{ pour }}x<a-b\\{\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {x-a}{b}}\right)^{3}+1\right]&{\hbox{ pour }}x\in [a-b,a+b]\\1&{\hbox{ pour }}x>b+a\end{cases}}} Applications Cette loi est un modèle utile pour des processus symétriques. D'autres lois continues permettent plus de flexibilité en termes de relâchement de symétrie et de forme parabolique de la densité, comme la loi bêta , la loi Gamma…
Références Horst Rinne, « (en) Location–Scale Distributions - Linear Estimation and Probability Plotting Using MATLAB2010 (consulté le 7 mars 12 ) p. 167Portail des probabilités et de la statistique 
![{\displaystyle a\in ]-\infty ,\infty [}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d1cb02d73900c44182d9c06787a1038b8e87df6)
![{\displaystyle \beta \in ]-\infty ,\infty [,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7518530296675c0b81771d402f039f98fa615215)
![{\displaystyle x\in [a-b,a+b]\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1722e0233a6db4e9339619c141d2d1a271bf10e1)
![{\displaystyle f(x)={\begin{cases}\alpha \left(x-\beta \right)^{2}&{\hbox{ pour }}x\in [\beta -({\frac {3}{2\alpha }})^{1/3},\beta +({\frac {3}{2\alpha }})^{1/3}]\\0&{\hbox{ sinon.}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfd6af5c79f8bb34d83ee78f22b9564429eec199)
![{\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {3}{2b}}\left({\frac {x-a}{b}}\right)^{2}&{\hbox{ pour }}x\in [a-b,a+b]\\0&{\hbox{ sinon.}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be191faf6c1ea0d2d03d257b025651f572b910f3)
![{\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&{\hbox{ pour }}x<\beta -({\frac {3}{2\alpha }})^{1/3}\\\displaystyle {\alpha \over 3}\left((x-\beta )^{3}-{\frac {3}{2\alpha }}\right)&{\hbox{ pour }}x\in [\beta -({\frac {3}{2\alpha }})^{1/3},\beta +({\frac {3}{2\alpha }})^{1/3}]\\1&{\hbox{ pour }}x>\beta +({\frac {3}{2\alpha }})^{1/3}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3be61e2806ed680c8b5b7a12564fb80887f14f80)
![{\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&{\hbox{ pour }}x<a-b\\{\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {x-a}{b}}\right)^{3}+1\right]&{\hbox{ pour }}x\in [a-b,a+b]\\1&{\hbox{ pour }}x>b+a\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e16ccd9ef64170da8dfbdb2e805dc845743d9fc)
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