Loi de Wishart inverse

Loi de Wishart inverse
Paramètres	${\displaystyle \nu >p-1\!}$ Degré de liberté ${\displaystyle \mathbf {\Psi } >0\,}$ paramètre d'échelle inverse (${\displaystyle p\times p}$ matrice définie positive)
Support	l'ensemble des matrices définies positives
Densité de probabilité	${\displaystyle {\frac {\left|{\mathbf {\Psi } }\right|^{\frac {\nu }{2}}}{2^{\frac {\nu p}{2}}\Gamma _{p}({\frac {\nu }{2}})}}\left|\mathbf {X} \right|^{-{\frac {\nu +p+1}{2}}}{\rm {e}}^{-{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} ({\mathbf {\Psi } }\mathbf {X} ^{-1})}}$ où ${\displaystyle \Gamma _{p}}$ est la fonction gamma multidimensionnelle et ${\displaystyle \mathrm {tr} }$ est la fonction trace
Espérance	${\displaystyle {\frac {\mathbf {\Psi } }{\nu -p-1}}}$
Mode	${\displaystyle {\frac {\mathbf {\Psi } }{\nu +p+1}}}$[1]
Variance	voir l'article
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En théorie des probabilités et en statistique, la loi de Wishart inverse, également appelée loi de Wishart inversée, est une loi de probabilité définie sur l'ensemble des matrices définies positives à coefficients réels.

Une variable qui suit une loi de Wishart inverse sera notée ${\displaystyle \mathbf {X} \sim W^{-1}({\mathbf {\Psi } },\nu )}$ et est définie par la loi de sa matrice inverse : ${\displaystyle \mathbf {X} ^{-1}}$ suit une loi de Wishart ${\displaystyle W({\mathbf {\Psi } }^{-1},\nu )}$.

Densité

La densité de probabilité de la loi de Wishart inverse est :

${\displaystyle {\frac {\left|{\mathbf {\Psi } }\right|^{\frac {\nu }{2}}}{2^{\frac {\nu p}{2}}\Gamma _{p}({\frac {\nu }{2}})}}\left|\mathbf {X} \right|^{-{\frac {\nu +p+1}{2}}}{\rm {e}}^{-{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} ({\mathbf {\Psi } }\mathbf {X} ^{-1})}}$

où ${\displaystyle \mathbf {X} }$ et ${\displaystyle {\mathbf {\Psi } }}$ sont des matrices définies positives ${\displaystyle p\times p}$ et ${\displaystyle \Gamma _{p}}$ est la fonction gamma multidimensionnelle.

Théorèmes

Loi de l'inverse d'une matrice de loi de Wishart

Si ${\displaystyle {\mathbf {A} }\sim W({\mathbf {\Sigma } },\nu )}$ et ${\displaystyle {\mathbf {\Sigma } }}$ est une matrice ${\displaystyle p\times p}$, alors ${\displaystyle \mathbf {X} ={\mathbf {A} }^{-1}}$ est de loi de Wishart inverse : ${\displaystyle \mathbf {X} \sim W^{-1}({\mathbf {\Sigma } }^{-1},\nu )}$ ^[2].

Lois marginales et conditionnelles

Supposons que ${\displaystyle {\mathbf {A} }\sim W^{-1}({\mathbf {\Psi } },\nu )}$ est de loi de Wishart inverse. Séparons convenablement en deux matrices ${\displaystyle {\mathbf {A} }}$ et ${\displaystyle {\mathbf {\Psi } }}$ :

${\displaystyle {\mathbf {A} }={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{11}&\mathbf {A} _{12}\\\mathbf {A} _{21}&\mathbf {A} _{22}\end{bmatrix}},\;{\mathbf {\Psi } }={\begin{bmatrix}\mathbf {\Psi } _{11}&\mathbf {\Psi } _{12}\\\mathbf {\Psi } _{21}&\mathbf {\Psi } _{22}\end{bmatrix}}}$

où ${\displaystyle {\mathbf {A} _{ij}}}$ et ${\displaystyle {\mathbf {\Psi } _{ij}}}$ sont des matrices ${\displaystyle p_{i}\times p_{j}}$, alors on obtient

1. ${\displaystyle {\mathbf {A} _{11}}}$ est indépendant de ${\displaystyle {\mathbf {A} }_{11}^{-1}{\mathbf {A} }_{12}}$ et de ${\displaystyle {\mathbf {A} }_{22\cdot 1}}$, où ${\displaystyle {\mathbf {A} _{22\cdot 1}}={\mathbf {A} }_{22}-{\mathbf {A} }_{21}{\mathbf {A} }_{11}^{-1}{\mathbf {A} }_{12}}$ est le complément de Schur de ${\displaystyle {\mathbf {A} _{11}}}$ dans ${\displaystyle {\mathbf {A} }}$;
2. ${\displaystyle {\mathbf {A} _{11}}\sim W^{-1}({\mathbf {\Psi } _{11}},\nu -p_{2})}$;
3. ${\displaystyle {\mathbf {A} }_{11}^{-1}{\mathbf {A} }_{12}|{\mathbf {A} }_{22\cdot 1}\sim MN_{p_{1}\times p_{2}}({\mathbf {\Psi } }_{11}^{-1}{\mathbf {\Psi } }_{12},{\mathbf {A} }_{22\cdot 1}\otimes {\mathbf {\Psi } }_{11}^{-1})}$, où ${\displaystyle MN_{p\times q}(\cdot ,\cdot )}$ est la loi normale multidimensionnelle;
4. ${\displaystyle {\mathbf {A} }_{22\cdot 1}\sim W^{-1}({\mathbf {\Psi } }_{22\cdot 1},\nu )}$

Moments

Cette section est basée sur l'article [Press, 1982]^[3], après avoir reparamétré le degré de liberté pour être consistent avec la définition de la densité donnée ci-dessus.

La moyenne est^[2] :

${\displaystyle E(\mathbf {X} )={\frac {\mathbf {\Psi } }{\nu -p-1}}.}$

La variance de chaque élément de ${\displaystyle \mathbf {X} }$ est :

${\displaystyle \operatorname {Var} (x_{ij})={\frac {(\nu -p+1)\psi _{ij}^{2}+(\nu -p-1)\psi _{ii}\psi _{jj}}{(\nu -p)(\nu -p-1)^{2}(\nu -p-3)}}}$

a variance de la diagonale utile la même formule que ci-dessus avec ${\displaystyle i=j}$, ce qui se simplifie en :

${\displaystyle \operatorname {Var} (x_{ii})={\frac {2\psi _{ii}^{2}}{(\nu -p-1)^{2}(\nu -p-3)}}.}$

Liens avec d'autres lois

Une version unidimensionnelle de la loi de Wishart inverse est la loi inverse-gamma. Avec ${\displaystyle p=1}$, c'est-à-dire unidimensionnel, ${\displaystyle \alpha =\nu /2}$, ${\displaystyle \beta =\mathbf {\Psi } /2}$ et ${\displaystyle x=\mathbf {X} }$, la densité de probabilité de la loi de Wishart inverse devient

${\displaystyle p(x|\alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }\,x^{-\alpha -1}\exp(-\beta /x)}{\Gamma _{1}(\alpha )}}.}$

c'est-à-dire, la loi inverse-gamma où ${\displaystyle \Gamma _{1}(\cdot )}$ est la fonction gamma classique.

La loi de Wishart inverse est un cas particulier de la loi gamma inverse multidimensionnelle.

Références

• Portail des probabilités et de la statistique