Loi de Gauss-Kuzmin

Loi Gauss-Kuzmin
Support	${\displaystyle k\in \{1,2,\dots \}}$
Fonction de masse	${\displaystyle -\log _{2}\left[1-{\frac {1}{(k+1)^{2}}}\right]}$
Fonction de répartition	${\displaystyle 1-\log _{2}\left({\frac {k+2}{k+1}}\right)}$
Espérance	${\displaystyle +\infty }$
Médiane	${\displaystyle 2\,}$
Mode	${\displaystyle 1\,}$
Variance	${\displaystyle +\infty }$
Asymétrie	(non définie)
Kurtosis normalisé	(non défini)
Entropie	3.4325275[1],[2]...
modifier

En théorie des probabilités, la loi de Gauss-Kuzmin est une loi de probabilité discrète à support infini qui apparaît comme loi de probabilité asymptotique des coefficients dans le développement en fraction continue d'une variable aléatoire uniforme sur ${\displaystyle ]0,1[}$^[3]. Le nom provient de Carl Friedrich Gauss qui considéra cette loi en 1800^[4], et de Rodion Kuzmin qui donna une borne pour la vitesse de convergence en 1929^[5],[6] par l'intermédiaire de la fonction de masse :

${\displaystyle p(k):=\mathbb {P} (X=k)=-\log _{2}\left(1-{\frac {1}{(1+k)^{2}}}\right)~.}$

Théorème de Gauss-Kuzmin

Soit ${\displaystyle U}$ une variable aléatoire uniforme sur ${\displaystyle ]0,1[}$ et

${\displaystyle U={\frac {1}{k_{1}+{\frac {1}{k_{2}+\cdots }}}}}$

son développement en fraction continue. Alors

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mathbb {P} \left\{k_{n}=k\right\}=-\log _{2}\left(1-{\frac {1}{(k+1)^{2}}}\right)~.}$

Ou de manière équivalente, en notant ${\displaystyle U_{n}=1/(k_{n+1}+1/(k_{n+2}+\cdots ))~;}$ alors

${\displaystyle \Delta _{n}(s):=\mathbb {P} \left\{U_{n}\leq s\right\}-\log _{2}(1+s)}$

converge vers 0 quand ${\displaystyle n}$ tend vers l'infini.

Vitesse de convergence

En 1928, Kuzmin donne la borne

${\displaystyle |\Delta _{n}(s)|\leq C\exp(-\alpha {\sqrt {n}})}$.

En 1929, Paul Lévy^[7] l'améliore en majorant

${\displaystyle |\Delta _{n}(s)|\leq C\,0{,}7^{n}}$.

Plus tard, Eduard WirsingEduard Wirsing montre^[8],[9] que pour ${\displaystyle \lambda =0{,}30366\dots }$ (la constante de Gauss-Kuzmin-Wirsing^[10]), la limite

${\displaystyle \Psi (s)=\lim _{n\to \infty }{\frac {\Delta _{n}(s)}{(-\lambda )^{n}}}}$

existe pour tout ${\displaystyle s\in [0,1]}$, et la fonction ${\displaystyle \Psi }$ est analytique et satisfait ${\displaystyle \Psi (0)=\Psi (1)=0}$. D'autres bornes ont été établies par K. I. Babenko^[11].

Article connexe

• Opérateur de Gauss-Kuzmin-Wirsing

Notes et références

• Portail des probabilités et de la statistique