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Inverse-gamma Densité de probabilité Fonction de répartition Paramètres α > 0 {\displaystyle \alpha >0} paramètre de forme (réel ) β > 0 {\displaystyle \beta >0} paramètre d'échelle (réel) Support x ∈ ] 0 ; ∞ [ {\displaystyle x\in \left]0;\infty \right[} Densité de probabilité β α Γ ( α ) x − α − 1 exp ( − β x ) {\displaystyle {\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}x^{-\alpha -1}\exp \left({\frac {-\beta }{x}}\right)} Fonction de répartition Γ ( α , β / x ) Γ ( α ) {\displaystyle {\frac {\Gamma (\alpha ,\beta /x)}{\Gamma (\alpha )}}\!} Espérance β α − 1 {\displaystyle {\frac {\beta }{\alpha -1}}\!} α > 1 {\displaystyle \alpha >1} Mode β α + 1 {\displaystyle {\frac {\beta }{\alpha +1}}\!} Variance β 2 ( α − 1 ) 2 ( α − 2 ) {\displaystyle {\frac {\beta ^{2}}{(\alpha -1)^{2}(\alpha -2)}}\!} α > 2 {\displaystyle \alpha >2} Asymétrie 4 α − 2 α − 3 {\displaystyle {\frac {4{\sqrt {\alpha -2}}}{\alpha -3}}\!} α > 3 {\displaystyle \alpha >3} Kurtosis normalisé 6 5 α − 11 ( α − 3 ) ( α − 4 ) {\displaystyle 6{\frac {5\,\alpha -11}{(\alpha -3)(\alpha -4)}}\!} α > 4 {\displaystyle \alpha >4} Entropie α + ln ( β Γ ( α ) ) − ( 1 + α ) ψ ( α ) {\displaystyle \alpha \!+\!\ln(\beta \Gamma (\alpha ))\!-\!(1\!+\!\alpha )\psi (\alpha )} Fonction génératrice des moments 2 ( − β t ) α 2 Γ ( α ) K α ( − 4 β t ) {\displaystyle {\frac {2\left(-\beta t\right)^{\!\!{\frac {\alpha }{2}}}}{\Gamma (\alpha )}}K_{\alpha }\left({\sqrt {-4\beta t}}\right)} Fonction caractéristique 2 ( − i β t ) α 2 Γ ( α ) K α ( − 4 i β t ) {\displaystyle {\frac {2\left(-\mathrm {i} \beta t\right)^{\!\!{\frac {\alpha }{2}}}}{\Gamma (\alpha )}}K_{\alpha }\left({\sqrt {-4\mathrm {i} \beta t}}\right)} modifier
Dans la théorie des probabilités et en statistiques, la distribution inverse-gamma est une famille de lois de probabilité continues à deux paramètres sur la demi-droite des réels positifs. Il s'agit de l'inverse d'une variable aléatoire distribuée selon une distribution Gamma.
Caractérisation Densité de probabilité La densité de probabilité de la loi inverse-gamma est définie sur le support x > 0 {\displaystyle x>0}
f ( x ; α , β ) = β α Γ ( α ) ( 1 / x ) α + 1 exp ( − β / x ) {\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}(1/x)^{\alpha +1}\exp \left(-\beta /x\right)} où α {\displaystyle \alpha } paramètre de forme et β {\displaystyle \beta } paramètre d'échelle .
Fonction de répartition La fonction de répartition est la fonction gamma régularisée :
F ( x ; α , β ) = Γ ( α , β / x ) Γ ( α ) {\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )={\frac {\Gamma (\alpha ,\beta /x)}{\Gamma (\alpha )}}\!} où le numérateur est la fonction gamma incomplète et le dénominateur est la fonction gamma .
Distributions associées Si X ∼ Inv-Gamma ( α , β ) {\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,\beta )} α = ν 2 , β = 1 2 {\displaystyle \alpha ={\frac {\nu }{2}},\beta ={\frac {1}{2}}} X ∼ Inv-chi-square ( ν ) {\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-chi-square}}(\nu )\,} loi inverse-χ² ; Si X ∼ Inv-Gamma ( k , θ ) {\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(k,\theta )\,} 1 / X ∼ Gamma ( k , 1 / θ ) {\displaystyle 1/X\sim {\mbox{Gamma}}(k,1/\theta )\,} loi Gamma de paramètre de forme k {\displaystyle k} 1 / θ {\displaystyle 1/\theta } θ {\displaystyle \theta } Une généralisation multivariée de la loi inverse-gamma est la loi de Wishart inverse . Obtention à partir de la loi Gamma La densité de la loi Gamma est
f ( x ) = x k − 1 e − x / θ θ k Γ ( k ) {\displaystyle f(x)=x^{k-1}{\frac {\mathrm {e} ^{-x/\theta }}{\theta ^{k}\,\Gamma (k)}}} et définissons la transformation Y = g ( X ) = 1 X {\displaystyle Y=g(X)={\frac {1}{X}}}
f Y ( y ) = f X ( g − 1 ( y ) ) | d d y g − 1 ( y ) | {\displaystyle f_{Y}(y)=f_{X}\left(g^{-1}(y)\right)\left|{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}g^{-1}(y)\right|} = 1 θ k Γ ( k ) ( 1 y ) k − 1 exp ( − 1 θ y ) 1 y 2 {\displaystyle ={\frac {1}{\theta ^{k}\Gamma (k)}}\left({\frac {1}{y}}\right)^{k-1}\exp \left({\frac {-1}{\theta y}}\right){\frac {1}{y^{2}}}} = 1 θ k Γ ( k ) ( 1 y ) k + 1 exp ( − 1 θ y ) {\displaystyle ={\frac {1}{\theta ^{k}\Gamma (k)}}\left({\frac {1}{y}}\right)^{k+1}\exp \left({\frac {-1}{\theta y}}\right)} = 1 θ k Γ ( k ) y − k − 1 exp ( − 1 θ y ) {\displaystyle ={\frac {1}{\theta ^{k}\Gamma (k)}}y^{-k-1}\exp \left({\frac {-1}{\theta y}}\right)} Remplaçant k {\displaystyle k} α {\displaystyle \alpha } θ − 1 {\displaystyle \theta ^{-1}} β {\displaystyle \beta } y {\displaystyle y} x {\displaystyle x}
f ( x ) = β α Γ ( α ) x − α − 1 exp ( − β x ) {\displaystyle f(x)={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}x^{-\alpha -1}\exp \left({\frac {-\beta }{x}}\right)} Apparitions Références ↑ (en) Mike Ludkovski , « Math 526: Brownian Motion Notes », UC Santa Barbara, 2007 p. 5-6 Portail des probabilités et de la statistique 
![{\displaystyle x\in \left]0;\infty \right[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55dd122b5b90a05c3f6460ffa690aaf6a2d80322)
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