Distribució z de Fisher

Distribució z de Fisher

Funció de densitat de probabilitat
Tipus	distribució de probabilitat contínua
Paràmetres	${\displaystyle d_{1}>0,\ d_{2}>0}$ grau de llibertat
Suport	${\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )\!}$
fdp	${\displaystyle {\frac {2d_{1}^{d_{1}/2}d_{2}^{d_{2}/2}}{B(d_{1}/2,d_{2}/2)}}{\frac {e^{d_{1}x}}{\left(d_{1}e^{2x}+d_{2}\right)^{\left(d_{1}+d_{2}\right)/2}}}\!}$
Moda	${\displaystyle 0}$
Mathworld	Fishersz-Distribution

La distribució z de Fisher és la distribució estadística de la meitat del logaritme d'una variació de la distribució F:

${\displaystyle z={\frac {1}{2}}\log F}$

Va ser descrit per primera vegada per Ronald Fisher en un article publicat al Congrés Internacional de Matemàtics de 1924 a Toronto, amb el títol On a distribution yielding the error functions of several well-known statistics (Sobre una llei que modela les funcions d'error de diverses estadístiques ben conegudes).^[1] Actualment, en general, es fa servir la distribució F.

La funció de densitat de probabilitat i distribució acumulativa es pot trobar utilitzant la distribució F al valor de ${\displaystyle x'=e^{2x}\,}$. No obstant això, la mitjana i la variància no segueixen la mateixa transformació.

La funció de densitat de probabilitat és^[2][3]

${\displaystyle f(x;d_{1},d_{2})={\frac {2d_{1}^{d_{1}/2}d_{2}^{d_{2}/2}}{B(d_{1}/2,d_{2}/2)}}{\frac {e^{d_{1}x}}{\left(d_{1}e^{2x}+d_{2}\right)^{(d_{1}+d_{2})/2}}},}$

on B és la funció beta.

Quan els graus de llibertat es fan grans (${\displaystyle d_{1},d_{2}\rightarrow \infty }$) la distribució s'aproxima a la distribució normal amb la mitjana^[2]

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{d_{2}}}-{\frac {1}{d_{1}}}\right)}$

i la variància

${\displaystyle \sigma _{x}^{2}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{d_{1}}}+{\frac {1}{d_{2}}}\right).}$

Distribucions relacionades

• Si ${\displaystyle X\sim \operatorname {FisherZ} (n,m)}$, llavors ${\displaystyle e^{2X}\sim \operatorname {F} (n,m)\,}$ (Distribució F)
• Si ${\displaystyle X\sim \operatorname {F} (n,m)}$, llavors ${\displaystyle {\tfrac {\log X}{2}}\sim \operatorname {FisherZ} (n,m)}$

Referències

Enllaços externs

• MathWorld (anglès)