Distribució F no central

Distribució F no central

Tipus	distribució de probabilitat contínua
Mathworld	NoncentralF-Distribution

En Teoria de Probabilitat i Estadística, la distribució F no central és una distribució de probabilitat contínua que és una generalització de la distribució F (ordinària), que s'obté com la distribució del quocient entre una variable amb distribució khi quadrat no central i una variable amb distribució khi quadrat (ordinària), cadascuna dividida pels seus graus de llibertat, i ambdues independents.^[1]

Aquesta distribució s'utilitza per trobar la funció de potència en diversos contrast d'hipòtesis, com en els de l'Anàlisi de la variància .^[2] La referència bàsica d'aquesta pàgina és Johnson et al.^[3]

Definició, funció de densitat i funció de distribució

Sigui ${\displaystyle X\sim \chi _{\nu _{1}}^{2}(\lambda )}$ una variable aleatòria khi quadrat no central amb ${\displaystyle \nu _{1}>0}$ graus de llibertat i paràmetre de no centralitat ${\displaystyle \lambda \geq 0}$ i ${\displaystyle Y\sim \chi _{\nu _{2}}^{2}}$ una variable aleatòria khi quadrat amb ${\displaystyle \nu _{2}>0}$ graus de llibertat, ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y}$ independents. Aleshores es diu que la variable

$${\displaystyle F={\frac {X/\nu _{1}}{Y/\nu _{2}}}}$$

segueix una distribució F no central amb ${\displaystyle \nu _{1}}$ i ${\displaystyle \nu _{2}}$ graus de llibertat i paràmetre de no centralitat ${\displaystyle \lambda }$ , i s'escriu ${\displaystyle F\sim F(\nu _{1},\nu _{2};\lambda )}$. La funció de densitat de probabilitat (pdf) de la distribució F no central és ^[4][5]

$${\displaystyle f(x)=e^{-\lambda /2}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(\lambda /2)^{j}}{j!\,B\left({\frac {\nu _{1}}{2}}+j,{\frac {\nu _{2}}{2}}\right)}}\left({\frac {\nu _{1}}{\nu _{2}}}\right)^{{\frac {\nu _{1}}{2}}+j}\left({\frac {\nu _{2}}{\nu _{1}x+\nu _{2}}}\right)^{{\frac {\nu _{1}+\nu _{2}}{2}}+j}x^{{\frac {\nu _{1}}{2}}+j-1},\quad x>0,}$$

on ${\displaystyle B(x,y)}$ és la funció beta. Reordenant els termes es pot escriure

$${\displaystyle f(x)=e^{-\lambda /2}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(\lambda /2)^{j}}{j!}}\,{\frac {\nu _{1}^{{\frac {\nu _{1}}{2}}+j}\nu _{2}^{\frac {\nu _{2}}{2}}}{B{\Big (}{\frac {\nu _{1}}{2}}+j,{\frac {\nu _{2}}{2}}{\Big )}}}{\frac {x^{{\frac {\nu _{1}}{2}}+j-1}}{{\big (}{\nu _{1}x+\nu _{2}}{\big )}^{{\frac {\nu _{1}+\nu _{2}}{2}}+j}}},\quad x>0,}$$

Observació. D'aquesta expressió es dedueix que la distribució ${\displaystyle F(\nu _{1},\nu _{2};\lambda )}$ és una mixtura de distribucions de probabilitat; concretament, la component ${\displaystyle j}$, ${\displaystyle j=0,1,\dots }$ , és la distribució d'una variable aleatòria de la forma ${\displaystyle {\tfrac {\nu _{2}}{\nu _{1}}}H_{\nu _{1}+2j,\nu _{2}}}$ on ${\displaystyle H_{\nu _{1}+2j,\nu _{2}}}$ és el quocient de dues variables khi quadrat independents, el numerador amb ${\displaystyle \nu _{1}+2j}$ graus de llibertat i el denominador amb ${\displaystyle \nu _{2}}$; els pesos venen donats per una distribució de Poisson de paràmetre ${\displaystyle \lambda /2}$ . Cal notar que ${\displaystyle {\tfrac {\nu _{2}}{\nu _{1}}}H_{\nu _{1}+2j,\nu _{2}}}$ no té una distribució F ${\displaystyle F(\nu _{1}+2j,\nu _{2})}$.

La funció de distribució és

$${\displaystyle F(x)=e^{-\lambda /2}\sum \limits _{j=0}^{\infty }{\frac {(\lambda /2)^{j}}{j!}}\,I_{m(x)}{\bigg (}{\frac {\nu _{1}}{2}}+j,{\frac {\nu _{2}}{2}}{\bigg )},\quad x\geq 0,}$$

${\displaystyle m(x)=\nu _{1}x/(\nu _{1}x+\nu _{2})}$

${\displaystyle I_{\alpha }(a,b)}$

${\displaystyle F(x)=0}$

${\displaystyle x<0}$

Càlcul de la funció de densitat

Primer calcularem la funció de densitat de la variable aleatòria

$${\displaystyle G={\frac {X}{Y}},\ {\text{amb}}\ X\sim \chi ^{2}(\nu _{1},\lambda ),\,Y\sim \chi ^{2}(\nu _{2}),\,X\ {\text{i}}\ Y\ {\text{independents}}.}$$

D'aquí deduirem la funció de densitat de ${\displaystyle F={\tfrac {\nu _{2}}{\nu _{1}}}G}$ . Demostrarem que la distribució de ${\displaystyle G}$ és una mixtura de distribucions de quocients de variables khi quadrat independents amb pesos donats per una distribució de Poisson. Utilitzarem les següents notacions: Designem per ${\displaystyle f_{n}}$ la funció de densitat d'una distribució ${\displaystyle \chi _{n}^{2}}$ i per ${\displaystyle f_{n,\lambda }}$ la densitat d'una distribució ${\displaystyle \chi _{n}^{2}(\lambda )}$ . També denotarem per ${\displaystyle p_{j}}$ els pesos corresponents a una distribució de Poisson de paràmetre ${\displaystyle \lambda /2}$:

$${\displaystyle p_{j}=e^{-\lambda /2}\,{\frac {(\lambda /2)^{j}}{j!}}.}$$

Recordem que la distribució khi quadrat no central ${\displaystyle \chi _{\nu _{1}}^{2}(\lambda )}$ és una mixtura de distribucions ${\displaystyle \chi _{\nu _{1}+2j}^{2},\ j=0,1,\dots }$ amb pesos ${\displaystyle p_{j}}$ , i tenim

$${\displaystyle f_{\nu _{1},\lambda }(x)=\sum _{j=0}^{\infty }p_{j}\,f_{\nu _{1}+2j}(x).\quad \quad (1)}$$

Donada la independència entre ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y}$ , la funció de densitat conjunta de ${\displaystyle (X,Y)}$ és

$${\displaystyle f_{(X,Y)}(x,y)=f_{X}(x)\,f_{Y}(y)=f_{\nu _{1},\lambda }(x)\,f_{\nu _{2}}(y).\quad \quad (2)}$$

Sigui ${\displaystyle \varphi _{G}}$ la funció característica de ${\displaystyle G}$. Per (2) i (1),

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{G}(t)&=E{\big [}e^{itG}{\big ]})=E{\big [}e^{itX/Y}{\big ]}=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx/y}f_{(X,Y)}(x,y)\,dx\,dy\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx/y}f_{\nu _{1},\lambda }(x)f_{\nu _{2}}(y)\,dx\,dy=\sum _{j=0}^{\infty }p_{j}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx/y}f_{\nu _{1}+2j}(x)f_{\nu _{2}}(y)\,dx\,dy.\quad \quad (3)\end{aligned}}}$$

Però ${\displaystyle f_{\nu _{1}+2j}(x)f_{\nu _{2}}(y)}$ és la funció de densitat conjunta d'una variable aleatòria ${\displaystyle Y_{\nu _{1}+2j}\sim \chi _{\nu _{1}+2j}^{2}}$ i una variable ${\displaystyle Y'_{\nu _{2}}\sim \chi _{\nu _{2}}^{2}}$ independents. Per tant, els sumands de (3) són les funcions característiques de variables aleatòries de la forma ${\displaystyle H_{\nu _{1}+2j,\nu _{2}}=Y_{\nu _{1}+2j}/Y'_{\nu _{2}}}$ . Reconeixem, per tant, una mixtura de distribucions d'aquests tipus amb els pesos ${\displaystyle p_{j}}$. Per la fórmula del canvi de variables (vegeu la pàgina distribució F per als càlculs) , la funció de densitat de la variable ${\displaystyle H_{\nu _{1}+2j,\nu _{2}}}$ és

$${\displaystyle f_{H_{\nu _{1}+2j,\nu _{2}}}(x)={\frac {1}{B{\big (}{\frac {\nu _{1}}{2}}+j,{\frac {\nu _{2}}{2}}{\big )}}}\,{\frac {x^{{\frac {\nu _{1}}{2}}+j-1}}{(1+x)^{{\frac {\nu _{1}+\nu _{2}}{2}}+j}}}.}$$

Finalment, s'utilitza que si ${\displaystyle M}$ és una variable aleatòria amb funció de densitat ${\displaystyle f_{M}}$ i ${\displaystyle a\neq 0}$ , aleshores la densitat de ${\displaystyle N=aM}$ és

$${\displaystyle f_{N}(x)={\frac {1}{|a|}}f{\Big (}{\frac {x}{a}}{\Big )}.}$$

Càlcul de la funció de distribució

Per a ${\displaystyle x\geq 0}$, a partir de la segona expressió de la funció de densitat tenim que

$${\displaystyle F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)\,dt=\sum _{j=0}^{\infty }p_{j}\,{\frac {\nu _{1}^{{\frac {\nu _{1}}{2}}+j}\nu _{2}^{\frac {\nu }{2}}}{B{\big (}{\frac {\nu _{1}}{2}}+j,{\frac {\nu _{2}}{2}}{\big )}}}\int _{0}^{x}{\frac {t^{{\frac {\nu _{1}}{2}}+j-1}}{(\nu _{2}+\nu _{1}t)^{{\frac {\nu _{1}+\nu _{2}}{2}}+j}}}\,dt.}$$

Ara a cada integral es fa el canvi

$${\displaystyle t={\frac {\nu _{2}}{\nu _{1}}}\,{\frac {y}{1-y}}}$$

i s'obté una integral del tipus funció beta incompleta.

Moments. Esperança i variància

Sigui ${\displaystyle F\sim F(\nu _{1},\nu _{2};\lambda )}$ . Aleshores ${\displaystyle F}$ té moment d'ordre ${\displaystyle k}$ si i només si ${\displaystyle k<\nu _{2}/2}$. En aquest cas,^[3]

$${\displaystyle E[F^{k}]={\Big (}{\frac {\nu _{2}}{\nu _{1}}}{\Big )}^{k}\,{\frac {\Gamma {\big (}{\frac {\nu _{2}}{2}}-k{\big )}}{\Gamma {\big (}{\frac {\nu _{2}}{2}}{\big )}}}e^{-\lambda /2}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-\lambda /2)^{j}}{j!}}\,{\frac {\Gamma {\big (}{\frac {\nu _{1}}{2}}+j+k{\big )}}{\Gamma {\big (}{\frac {\nu _{1}}{2}}+j{\big )}}}.}$$

En particular, si ${\displaystyle \nu _{2}>2}$, llavors ${\displaystyle F}$ té esperança i val

$${\displaystyle E[F]={\frac {\nu _{2}(\nu _{1}+\lambda )}{\nu _{1}(\nu _{2}-2)}}.}$$

${\displaystyle \nu _{2}>4}$

${\displaystyle F}$

$${\displaystyle E[F^{2}]={\frac {\nu _{2}^{2}}{\nu _{1}^{2}}}\,{\frac {(\nu _{1}+\lambda )^{2}+4\lambda +2\nu _{1}}{(\nu _{2}-2)(\nu _{2}-4)}}.}$$

$${\displaystyle {\text{Var}}(F)=2{\bigg (}{\frac {\nu _{2}}{\nu _{1}}}{\bigg )}^{2}{\frac {(\nu _{1}+\lambda )^{2}+(\nu _{1}+2\lambda )(\nu _{2}-2)}{(\nu _{2}-2)^{2}(\nu _{2}-4)}}.}$$

Prova

Amb les notacions que hem introduït al càlcul de la funció de densitat de ${\displaystyle F}$ , (recordem que ${\displaystyle Y_{\nu _{1}+2j}\sim \chi _{\nu _{1}+2j}^{2}}$ i ${\displaystyle Y'_{\nu _{2}}\sim \chi _{\nu _{2}}^{2}}$ , independents)

$${\displaystyle {\begin{aligned}E{\big [}F^{k}{\big ]}&={\Big (}{\frac {\nu _{2}}{\nu _{1}}}{\Big )}^{k}E{\big [}G^{k}{\big ]}={\Big (}{\frac {\nu _{2}}{\nu _{1}}}{\Big )}^{k}\sum _{j=0}^{\infty }p_{j}E{\bigg [}{\frac {Y_{\nu _{1}+2j}^{k}}{(Y'_{\nu _{2}})^{k}}}{\bigg ]}={\Big (}{\frac {\nu _{2}}{\nu _{1}}}{\Big )}^{k}\sum _{j=0}^{\infty }p_{j}E{\big [}Y_{\nu _{1}+2j}^{k}{\big ]}\,E{\big [}(Y'_{\nu _{2}})^{-k}{\big ]}\\&={\Big (}{\frac {\nu _{2}}{\nu _{1}}}{\Big )}^{k}E{\big [}(Y'_{\nu _{2}})^{-k}{\big ]}\sum _{j=0}^{\infty }p_{j}E{\big [}Y_{\nu _{1}+2j}^{k}{\big ]}.\end{aligned}}}$$

Amb els mateixos càlculs que hi a la pàgina de la distribució ${\displaystyle F}$,

$${\displaystyle E{\big [}(Y'_{\nu _{2}})^{-k}{\big ]}<\infty \quad \Longleftrightarrow \quad k<{\frac {\nu _{2}}{2}},}$$

i quan ${\displaystyle k<\nu _{2}/2}$,

$${\displaystyle E{\big [}(Y'_{\nu _{2}})^{-k}{\big ]}={\frac {\Gamma {\big (}{\frac {\nu _{2}}{2}}-k{\big )}}{2^{k}\,\Gamma {\big (}{\frac {\nu _{2}}{2}}{\big )}}}.}$$

D'altra banda, el moment d'ordre ${\displaystyle k}$ d'una distribució ${\displaystyle \chi _{\nu _{1}+2j}^{2}}$ és

$${\displaystyle E{\big [}Y_{\nu _{1}+2j}^{k}{\big ]}={\frac {2^{k}\,\Gamma {\big (}{\frac {\nu _{1}}{2}}+j+k{\big )}}{\Gamma {\big (}{\frac {\nu _{1}}{2}}+j{\big )}}}.}$$

Referències