Distribució arcsinus

Distribució arcsinus

Funció de densitat de probabilitat
Funció de distribució de probabilitat Funció de distribució acumulativa
Tipus	distribució univariant, distribució de probabilitat simètrica i Distribució beta
Suport	${\displaystyle x\in [0,1]}$
fdp	${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}}}$
FD	${\displaystyle F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {x}}\right)}$
Esperança matemàtica	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$
Mediana	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$
Moda	${\displaystyle x\in \{0,1\}}$
Variància	${\displaystyle {\tfrac {1}{8}}}$
Coeficient de simetria	${\displaystyle 0}$
Curtosi	${\displaystyle -{\tfrac {3}{2}}}$
Entropia	${\displaystyle \ln {\tfrac {\pi }{4}}}$
FC	${\displaystyle {}_{1}F_{1}({\tfrac {1}{2}};1;i\,t)\ }$

En teoria de la probabilitat, la distribució arcsinus és la distribució de probabilitat que té com a funció de distribució acumulativa:

${\displaystyle F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {x}}\right)={\frac {\arcsin(2x-1)}{\pi }}+{\frac {1}{2}}}$

per 0 ≤ x ≤ 1. La seva funció de densitat de probabilitat és:

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}}}$

on (0, 1). La distribució arcsinus estàndard és un cas particular de la distribució beta amb α = β = 1/2. És a dir, si ${\displaystyle X}$ és la distribució arcsinus estàndard, llavors ${\displaystyle X\sim {\rm {Beta}}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}}$.

La distribució arcsinus apareix a:

• en les lleis de l'arcsinus de Lévy;
• en la llei de l'arcsinus d'Erdős;
• en el mètode de Jeffreys per la probabilitat d'èxit en un assaig de Bernoulli.

Generalització

Suport de fita arbitrària

La distribució pot ser generalitzada per incloure qualsevol domini: a ≤ x ≤ b aplicant una simple transformació:

${\displaystyle F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {\frac {x-a}{b-a}}}\right)}$

amb a ≤ x ≤ b, i amb una funció de densitat de probabilitat

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {(x-a)(b-x)}}}}}$

Factor de forma

Arcsinus amb domini fitat

Tipus	distribució univariant, distribució de probabilitat simètrica i Distribució beta
Paràmetres	${\displaystyle -\infty <a<b<\infty \,}$
Suport	${\displaystyle x\in [a,b]}$
fdp	${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {(x-a)(b-x)}}}}}$
FD	${\displaystyle F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {\frac {x-a}{b-a}}}\right)}$
Esperança matemàtica	${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}}$
Mediana	${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}}$
Moda	${\displaystyle x\in {a,b}}$
Variància	${\displaystyle {\tfrac {1}{8}}(b-a)^{2}}$
Coeficient de simetria	${\displaystyle 0}$
Curtosi	${\displaystyle -{\tfrac {3}{2}}}$

La distribució arcsinus estàndard generalitzada en (0,1) amb una funció de densitat de probabilitat

${\displaystyle f(x;\alpha )={\frac {\sin \pi \alpha }{\pi }}x^{-\alpha }(1-x)^{\alpha -1}}$

és també un cas particular de la distribució beta amb els paràmetres ${\displaystyle {\rm {Beta}}(1-\alpha ,\alpha )}$.

Noti's que quan ${\displaystyle \alpha ={\tfrac {1}{2}}}$ la distribució arcsinus general es redueix a la distribució estàndard llistada anteriorment.

Propietats

• La distribució arcsinus té la propietat de translació i canvi d'escala per un factor positiu
  • Si ${\displaystyle X\sim {\rm {Arcsine}}(a,b)\ {\text{then }}kX+c\sim {\rm {Arcsine}}(ak+c,bk+c)}$
• El quadrat d'una distribució arcsinus amb paràmetres (-1, 1) és una distribució arcsinus sobre (0, 1)
  • Si ${\displaystyle X\sim {\rm {Arcsine}}(-1,1)\ {\text{then }}X^{2}\sim {\rm {Arcsine}}(0,1)}$

Distribucions relacionades

• Si U i V són variables aleatòries independents i distribuïdes idènticament i uniformes (−π,π), llavors ${\displaystyle \sin(U)}$, ${\displaystyle \sin(2U)}$, ${\displaystyle -\cos(2U)}$, ${\displaystyle \sin(U+V)}$ i ${\displaystyle \sin(U-V)}$ tenen totes elles distribucions arcsinus ${\displaystyle {\rm {Arcsine}}(-1,1)}$.
• Si ${\displaystyle X}$ és una distribució arcsinus generalitzada amb paràmetres de forma ${\displaystyle \alpha }$ de domini l'interval finit [a,b] llavors ${\displaystyle {\frac {X-a}{b-a}}\sim {\rm {Beta}}(1-\alpha ,\alpha )\ }$

Vegeu també

• Inverses de les funcions trigonomètriques

Referències