Distribució de Benktander

Distribució de Benktander

Tipus	distribució de probabilitat
Epònim	Gunnar Benktander
Paràmetres	${\displaystyle a>0\,}$ ${\displaystyle {\begin{cases}0\leq b&{\text{tipus I}}\\0<b\leq 1&{\text{tipus II}}\end{cases}}}$
Suport	${\displaystyle x\in [1;+\infty [\,}$
fdp	vegeu l'article
FD	vegeu l'article
Esperança matemàtica	${\displaystyle 1+{\frac {1}{a}}}$
Mediana	vegeu l'article
Variància	vegeu l'article

En teoria de la probabilitat i en estadística, la distribució de Benktander és una distribució de probabilitat contínua coneguda com dos tipus diferents: la distribució de Benktander de tipus I (o distribució de Benktander-Gibrat) i la distribució de Benktander de tipus II (o distribució de Benktander Weibull).

Aquestes lleis es va aparèixer originalment en un article de 1960 escrit per Benktander i Segerdahl.^[1] S'utilitzen principalment en l'economia.

Igual que la distribució de Pareto és una generalització de la distribució exponencial, les dues lleis de Benktander són generalitzacions d'aquesta distribució exponencial.

Si a ${\displaystyle X_{I}}$el segueix una distribució de Benktander de tipus I, s'escriurà ${\displaystyle X_{I}\sim \mathrm {BenktanderI} (a,b)}$; de la mateixa manera, per a una distribució de Benktander de tipus II s'escriurà ${\displaystyle X_{II}\sim \mathrm {BenktanderII} (a,b)}$

Origen

La distribució de Pareto és una distribució exponencial de paràmetre ${\displaystyle \scriptstyle \log(x/x_{m})}$, on ${\displaystyle x_{m}}$ és un paràmetre de posició. Apareix així un paràmetre d'escala exponencial: ${\displaystyle e(x):={\frac {x}{x_{m}}}}$.

Per reflectir millor els valors empírics econòmics, es defineixen altres dos paràmetres exponencials d'escala:

${\displaystyle {\begin{cases}e_{I}(x)={\frac {x}{a+2b\log(x)}}&{\text{ per }}a>0{\text{ i }}0\leq b\\e_{II}(x)={\frac {x^{1-b}}{a}}&{\text{ per }}a>0{\text{ i }}0<b\leq 1\end{cases}}}$

Aquests dos nous paràmetres defineixen els dos tipus de distribució de Benktander.

Definicions

Tipus I

Tipus II

Funció de distribució

Els dos canvis d'escala anteriors per definir les dues funcions distribució de les distribucions de Benktander de tipus I i II:.

• Per al tipus I :

${\displaystyle F_{I}(x)={\begin{cases}1-x^{-1-a-b{\mathrm {Log} [x]}}\left(1+{\tfrac {2b\mathrm {Log} [x]}{a}}\right)&{\text{ per }}x\geq 1\\0&{\text{ sinó.}}\end{cases}}}$

• Per al tipus II :

${\displaystyle F_{II}(x)={\begin{cases}1-e^{{\frac {a}{b}}(1-x^{b})}x^{b-1}&{\text{ per }}x\geq 1\\0&{\text{ sió.}}\end{cases}}}$

Tipus I

Tipus II

Densitat de la distribució

Per derivació s'aconsegueixen les dues densitats de les distribucions.

• Per al tipus I :

${\displaystyle f_{I}(x)={\begin{cases}x^{-2-a-b{\mathrm {Log} [x]}}\left(-{\tfrac {2b}{a}}+\left(1+a+2b\mathrm {Log} [x]\right)\left(1+{\tfrac {2b\mathrm {Log} [x]}{a}}\right)\right)&{\text{ per }}x\geq 1\\0&{\text{ sinó.}}\end{cases}}}$

• Per al tipus II :

${\displaystyle f_{II}(x)={\begin{cases}e^{\tfrac {a(1-x^{b})}{b}}x^{-2+b}(1-b+ax^{b})&{\text{ per }}x\geq 1\\0&{\text{ sinó.}}\end{cases}}}$

Propietats

La mitjana d'ambdós tipus són iguals a:

${\displaystyle \mathbb {E} [X]=1+{\frac {1}{a}}}$.

Les variàncies són donades per:

${\displaystyle Var(X_{I})={\frac {-{\sqrt {b}}+ae^{\tfrac {(-1+a)^{2}}{4b}}{\sqrt {\pi }}\operatorname {erfc} \left({\tfrac {-1+a}{2{\sqrt {b}}}}\right)}{a^{2}{\sqrt {b}}}}}$

i

${\displaystyle Var(X_{II})={\frac {-1}{a^{2}}}+{\frac {2e^{\tfrac {a}{b}}{\rm {E}}(1-{\tfrac {1}{b}},{\tfrac {a}{b}})}{ab}}}$

on ${\displaystyle X_{I}\sim \mathrm {BenktanderI} (a,b)}$, ${\displaystyle X_{II}\sim \mathrm {BenktanderII} (a,b)}$, erfc és la funció d'error, i t ${\displaystyle \scriptstyle {\rm {E}}(n,x)}$ és l'exponencial integral generalitzada.

Relació amb altres lleis

• ${\displaystyle \lim _{b\rightarrow 0}\mathrm {BenktanderI} (a,b)\sim Pareto(1,1+a)}$

Referències

Bibliografia

• Benktander, G; Seherdahl, C.O. On the analytical representation of claim distributions with special reference to excess-of-loss reinsurance (en anglès). Trans. 16-th Intern. Congress Actuaries, 1960. 
• Benktander, Gunnar. Schadenverteilungen nach Grösse in der Nicht-Lebensversicherung [Les distribucions de pèrdua per grandàries d'assegurances dels morts] (en alemany), p. 263–283. 
• Kleiber, Christian; Kotz, Samuel. Statistical size distributions in economics and actuarial sciences (en anglès). Wiley-Interscience, 2003. ISBN 0-471-15064-9.