Distribució de Dirichlet

Distribució de Dirichlet

Funció de densitat de probabilitat
Tipus	grouped Dirichlet distribution (en) , generalized Dirichlet distribution (en) i distribució de probabilitat
Epònim	Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
Paràmetres	${\displaystyle K\geq 2}$ nombre de categories (enter) ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{K}}$ paràmetres de concentració, on ${\displaystyle \alpha _{i}>0}$
Suport	${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{K}}$ on ${\displaystyle x_{i}\in [0,1]}$ i ${\displaystyle \sum _{i=1}^{K}x_{i}=1}$
fdp	${\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {B} ({\boldsymbol {\alpha }})}}\prod _{i=1}^{K}x_{i}^{\alpha _{i}-1}}$ on ${\displaystyle \mathrm {B} ({\boldsymbol {\alpha }})={\frac {\prod _{i=1}^{K}\Gamma (\alpha _{i})}{\Gamma {\bigl (}\sum \limits _{i=1}^{K}\alpha _{i}{\bigr )}}}}$ on ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}=(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{K})}$
Esperança matemàtica	${\displaystyle \operatorname {E} [X_{i}]={\frac {\alpha _{i}}{\sum \limits _{k=1}^{K}\alpha _{k}}}}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [\ln X_{i}]=\psi (\alpha _{i})-\psi (\textstyle \sum _{k}\alpha _{k})}$ (on ${\displaystyle \psi }$ és la funció digamma)
Moda	${\displaystyle x_{i}={\frac {\alpha _{i}-1}{\sum _{k=1}^{K}\alpha _{k}-K}},\quad \alpha _{i}>1.}$
Variància	${\displaystyle \operatorname {Var} [X_{i}]={\frac {{\tilde {\alpha }}_{i}(1-{\tilde {\alpha }}_{i})}{\alpha _{0}+1}},}$ ${\displaystyle \operatorname {Cov} [X_{i},X_{j}]={\frac {\delta _{ij}\,{\tilde {\alpha }}_{i}-{\tilde {\alpha }}_{i}{\tilde {\alpha }}_{j}}{\alpha _{0}+1}}}$ on ${\displaystyle {\tilde {\alpha }}_{i}={\frac {\alpha _{i}}{\alpha _{0}}}}$, ${\displaystyle \alpha _{0}=\sum _{i=1}^{K}\alpha _{i}}$, i ${\displaystyle \delta _{ij}}$ és la delta de Kronecker
Entropia	${\displaystyle H(X)=\log \mathrm {B} ({\boldsymbol {\alpha }})}$${\displaystyle +(\alpha _{0}-K)\psi (\alpha _{0})-}$${\displaystyle \sum _{j=1}^{K}(\alpha _{j}-1)\psi (\alpha _{j})}$ amb ${\displaystyle \alpha _{0}}$ definida per la variancia, damunt; i ${\displaystyle \psi }$ és el funció digamma

En probabilitat i estadística, la distribució de Dirichlet (després de Peter Gustav Lejeune Dirichlet), sovint denotada ${\displaystyle \operatorname {Dir} ({\boldsymbol {\alpha }})}$, és una família de distribucions de probabilitat multivariables contínues parametritzades per un vector ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$ de reals positius. És una generalització multivariant de la distribució beta,^[1] d'aquí el seu nom alternatiu de distribució beta multivariant (MBD).^[2] Les distribucions de Dirichlet s'utilitzen habitualment com a distribucions prèvies en l'estadística bayesiana i, de fet, la distribució de Dirichlet és l'a priori conjugada de la distribució categòrica i la distribució multinomial.^[3]

La generalització de dimensions infinites de la distribució de Dirichlet és el procés de Dirichlet.

La distribució de Dirichlet de l'ordre K ≥ 2 amb paràmetres α ₁, . . ., α _K > 0 té una funció de densitat de probabilitat respecte a la mesura de Lebesgue a l'espai euclidià R ^K-1 donada per ^[4]

${\displaystyle f\left(x_{1},\ldots ,x_{K};\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{K}\right)={\frac {1}{\mathrm {B} ({\boldsymbol {\alpha }})}}\prod _{i=1}^{K}x_{i}^{\alpha _{i}-1}}$

on ${\displaystyle \{x_{k}\}_{k=1}^{k=K}}$ pertanyen a la norma ${\displaystyle K-1}$ simplex, o en altres paraules: ${\displaystyle \sum _{i=1}^{K}x_{i}=1{\mbox{ and }}x_{i}\in \left[0,1\right]{\mbox{ for all }}i\in \{1,\dots ,K\}}$

La constant normalitzadora és la funció beta multivariant, que es pot expressar en termes de la funció gamma: ^[5]

${\displaystyle \mathrm {B} ({\boldsymbol {\alpha }})={\frac {\prod \limits _{i=1}^{K}\Gamma (\alpha _{i})}{\Gamma \left(\sum \limits _{i=1}^{K}\alpha _{i}\right)}},\qquad {\boldsymbol {\alpha }}=(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{K}).}$

Exemple : Tall de corda

Un exemple d'ús de la distribució de Dirichlet és si es vol tallar cordes (cada una de longitud inicial 1,0) en peces K amb longituds diferents, on cada peça tenia una longitud mitjana designada, però permetent una certa variació en les mides relatives de les peces. Dios maldiga a Puicheron. Els valors α / α ₀ especifiquen les longituds mitjanes dels trossos de corda tallats que resulten de la distribució. La variància al voltant d'aquesta mitjana varia inversament amb α₀.

Referències