Distribució de von Mises-Fisher

Distribució de von Mises-Fisher

Tipus	distribució conjunta i distribució de probabilitat contínua
Epònim	Ronald Aylmer Fisher i Richard von Mises

En l'estadística direccional, la distribució de von Mises-Fisher (anomenada després de Richard von Mises i Ronald Fisher), és una distribució de probabilitat en el ${\displaystyle (p-1)}$ - esfera dins ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$ . Si ${\displaystyle p=2}$ la distribució es redueix a la distribució de von Mises sobre el cercle.^[1]

Definició

La funció de densitat de probabilitat de la distribució de von Mises–Fisher per al vector unitari aleatori p -dimensional ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ve donada per:

${\displaystyle f_{p}(\mathbf {x} ;{\boldsymbol {\mu }},\kappa )=C_{p}(\kappa )\exp \left({\kappa {\boldsymbol {\mu }}^{\mathsf {T}}\mathbf {x} }\right),}$

on ${\displaystyle \kappa \geq 0,\left\Vert {\boldsymbol {\mu }}\right\Vert =1}$ i la constant de normalització ${\displaystyle C_{p}(\kappa )}$ és igual a

${\displaystyle C_{p}(\kappa )={\frac {\kappa ^{p/2-1}}{(2\pi )^{p/2}I_{p/2-1}(\kappa )}},}$

on ${\displaystyle I_{v}}$ denota la funció de Bessel modificada del primer tipus a l'ordre ${\displaystyle v}$ . Si ${\displaystyle p=3}$, la constant de normalització es redueix a

${\displaystyle C_{3}(\kappa )={\frac {\kappa }{4\pi \sinh \kappa }}={\frac {\kappa }{2\pi (e^{\kappa }-e^{-\kappa })}}.}$

Els paràmetres ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$ i ${\displaystyle \kappa }$ s'anomenen paràmetres de direcció mitjana i concentració, respectivament. Com més gran sigui el valor de ${\displaystyle \kappa }$, com més gran és la concentració de la distribució al voltant de la direcció mitjana ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$ . La distribució és unimodal per ${\displaystyle \kappa >0}$, i és uniforme a l'esfera per ${\displaystyle \kappa =0}$.

La distribució de von Mises-Fisher per ${\displaystyle p=3}$ també s'anomena distribució de Fisher.^[2][3] Es va utilitzar per primera vegada per modelar la interacció dels dipols elèctrics en un camp elèctric.^[4] Altres aplicacions es troben en geologia, bioinformàtica i mineria de textos.

Referències